Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Sustitución en la Ec. (6.1) da
dL = ∑ i
ṗ i dq i + ∑ i
p i d ˙q i + ∂L dt , (6.6)
∂t
lo que se puede expresar como
dL = ∑ ( ∑
ṗ i dq i +
i
i
d(p i ˙q i ) − ∑ i
˙q i dp i
)
+ ∂L dt ; (6.7)
∂t
es decir,
( ∑
d
i
p i ˙q i − L
)
= ∑ i
˙q i dp i − ∑ i
ṗ i dq i − ∂L dt . (6.8)
∂t
El lado izquierdo de la Ec. (6.8) corresponde al diferencial total de una función de varias
variables. El lado derecho de la Ec. (6.8), que contiene los diferenciales dp i , dq i y dt,
indica que los argumentos de esta función son (p i , q i , t). Si expresamos las velocidades
generalizadas ˙q i = ˙q i (p i , q i , t), podemos definir esta función como
H(p i , q i , t) ≡ ∑ i
p i ˙q i − L = ∑ i
p i ˙q i (p i , q i , t) − L(q i , ˙q i (p i , q i , t), t) . (6.9)
La función H(p i , q i , t) se llama el Hamiltoniano del sistema. Entonces, la Ec. (6.8) se
puede escribir como
dH(q i , p i , t) = ∑ i
˙q i dp i − ∑ i
ṗ i dq i − ∂L dt . (6.10)
∂t
Por otro lado, como función de sus argumentos (q i , p i , t), el diferencial total del Hamiltoniano
es
dH(q i , p i , t) = ∑ ∂H
dq i + ∑ ∂H
dp i + ∂H dt. (6.11)
∂q
i i ∂p i ∂t
Comparando términos en las Ecs. (6.10) y (6.11), tenemos
además de
˙q i = ∂H ,
∂p i
(6.12)
ṗ i = − ∂H ,
∂q i
(6.13)
∂H
∂t = −∂L ∂t . (6.14)
Las ecuaciones Ecs. (6.12) y (6.13) se denominan ecuaciones de Hamilton y constituyen
un sistema de 2s ecuaciones diferenciales de primer orden con respecto al tiempo para q i
y p i , i = 1, 2, . . . , s. Las soluciones q i (t) y p i (t) de las ecuaciones de Hamilton requieren