Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Figura 4.1: Pequeño desplazamiento η alrededor de la posición de equilibrio estable q 0.
Consideremos un desplazamiento pequeño η alrededor de un punto de equilibrio estable
q 0 ,
η
q = q 0 + η, con ≪ 1 . (4.7)
q 0
El valor del potencial V ef (q) = V ef (q 0 + η) cerca del punto de equilibrio q 0 se puede
obtener mediante una expansión de Taylor de V ef (q) alrededor de q = q 0 ,
∂V ef
V ef (q) = V ef (q 0 + η) = V (q 0 ) +
✚
∂q ✚✚✚❃0
∣ η + 1
q0
2
∂ 2 V ef
∂q 2 ∣ ∣∣∣q0
η 2 + · · · , (4.8)
donde V ef (q 0 ) es un valor constante y el segundo término se anula debido a la condición
de equilibrio Eq. (4.5). Luego, despreciando términos muy pequeños en potencias de η de
orden superior al cuadrático, se puede escribir el potencial cerca del punto de equilibrio
V ef (q) = V ef (q 0 + η) = 1 2 Kη2 , (4.9)
donde η = q − q 0 es el desplazamiento desde el equilibrio y
K ≡ ∂2 V ef
∂q 2 ∣ ∣∣∣q0
= constante > 0 . (4.10)
Luego, cerca del valor de equilibrio q 0 , el potencial corresponde al de un oscilador armónico.
La ecuación de movimiento para η se obtiene sustituyendo q = q 0 + η en la Ec. (4.3),
a¨η = − ∂V ef
∂q (q 0 + η) = − ∂V ef ∂η
∂η ∂q
a¨η = −Kη. (4.11)
Entonces, la ecuación de movimiento para el pequeño desplazamiento η es
¨η + ω 2 η = 0, (4.12)