Tema 9: Integral de Riemann

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En segundo lugar nos encontraremos con integrales impropias de la forma Z b f siendo el intervalo de definición a [a, b[ en cuyo caso la función no está definida, en principio, en b. Entonces el cálculo de la integral se realiza mediante el límite Z b Zt f =lim f t→b − Diremos que la integral b R a a a f es convergente si el límite anterior existe y es finito. Encaso de ser infinito tal límite diremos que la integral es divergente. Finalmente si dicho límite no existe diremos que la integral no existe. De modo similar ocurre para integrales impropias de la forma Z b f en caso de que el intervalo de definición sea a ]a, b] en cuyo caso su cálculo se realiza mediante el límite Ejemplo 2.2 Z b a Z b f =lim t→a + t f Z 0 −1 1 dx = lim x t→0 − tR −1 1 dx x = lim [log |x|] t = lim [log |t| − log |1|] =log0−log 1 = −∞−0 =−∞ t→0 − 1 t→0− La integral es divergente y su valor es −∞. Habitualmente para calcular el valor de una integral impropia, por ejemplo de la forma +∞ R f, siendo G una primitiva, se abrevia el modo de escribir, poniendo que +∞ Z a f =[G(x)] +∞ a = lim G(x) − G(a) x→+∞ directamente, y no tener que realizar el paso intermedio con la otra variable auxiliar t. Veámosloen los siguientes ejemplos: 10 a
Ejemplo 2.3 1. +∞ Z 1 Z 1 √ dx = x +∞ 1 x − 1 2 dx =[ x 1 2 1 2 ] +∞ x 1 2 =lim 1 x→+∞ 1 2 − 1 1 2 =+∞−2=+∞ 2. 3. 4. La integral es divergente y su valor es +∞. +∞ Z 0 e −2x dx =[ 1 −2 e−2x ] +∞ 0 =lim x→+∞ La integral es convergente y su valor es 1 2 . Z−1 −∞ 1 x dx = [log(−x)] −1 −∞ La integral es divergente y su valor es −∞. 1 −2 e−2x − 1 −2 =0+1 2 = 1 2 =log1− lim log(−x) =log1− log(+∞) =0− (+∞) =−∞ x→−∞ Z 1 0 Z1 1 x dx = 2 0 x −2 dx =[ x−1 −1 ] 1 =[− 1 0 x ] 1 = −1 − ( lim −1 )=−1 − (−∞) =−1+∞ =+∞ 0 x→0 + x 5. La integral es divergente y su valor es +∞. Z 1 0 Z 1 1 √ dx = x 0 x − 1 2 dx =[ x 1 2 1 2 ] 1 0 = 1 1 2 − 0=2 6. La integral es convergente y su valor es 2. Z 1 0 log xdx =[x(log x − 1)] 1 0 =log1− 1− lim x(log x − 1) = x→0 + =0− 1− lim x log x− lim x = −1 − 0 − 0=−1 x→0 + x→0 + La integral es convergente y su valor es 1. Nota: El cálculo de la integral indefinida R log xdx lo hemos hecho mediante el método de integración por partes tomando u =logx dv = dx con lo que du = dx x v = x 11
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