Tema 9: Integral de Riemann

por tanto
Z
Z
log xdx = x log x −
dx = x log x − x = x(log x − 1)
Yellímite
lim x log x
x→0 +
que en principio sale indeterminado del tipo 0 · (−∞), para calcularlo lo hemos puesto en la
forma
log x
lim
x→0 + 1
x
(que es del tipo ∞ ) y aplicando l’Hôpital resulta que
∞
lim x log x = lim
x→0 + x→0 +
log x
1
x
= lim
1
x
x→0 + − 1 x 2
=lim −x =0
x→0 +
Si observamos, las integrales impropias anteriores tenían uno de los extremos conflictivo. Puede
darse el caso en que los dos extremos sean conflictivos. En tal caso puede operarse así:
Ejemplo 2.4 1.
2.
+∞ Z
0
1
√ x
dx =[2 √ x] +∞
0
= [ lim
x→+∞ 2√ x− lim
x→0
2 √ x]=[+∞−0] = +∞
La integral es divergente con valor +∞.
+∞ Z
−∞
1
+∞
dx = [arctan x]
1+x2 −∞ = [ lim arctan x− lim
x→+∞
x→−∞ arctan x] =π 2 − (−π 2 )=π
3.
La integral es convergente con valor π.
+∞ Z
−∞
e x dx =[e x ] +∞
−∞ = [ lim
x→+∞ ex − lim
x→−∞ ex ]=e +∞ − e −∞ =+∞−0=+∞
La integral es divergente con valor +∞.
Lo que importa es que para que la integral converja en dicho intervalo el resultado debe ser un
número, no puede dar infinito ni indeterminación.
Ejemplo 2.5
+∞ Z
−∞
xdx =[ x2
2 ] +∞
−∞
x 2
=[ lim
x→+∞ 2 − lim
x→−∞
La integral no existe, pues el resultado anterior es indeterminado.
12
x 2
]=+∞−(+∞) =+∞−∞
2