Tema 9: Integral de Riemann

5 IntegralesdoblesenR 2
La idea es similar el caso de una variable pero más general. Para definir formalmente el concepto de
función de varias variables integrable habría que hacer uso de particiones en R n ,locualsehaceun
poco engorroso en este momento. De hecho, las propiedades típicas de la integral para una variable
se conservan aquí. Por ejemplo:
1. La integral es lineal.
2. La integral a lo largo de una unión de conjuntos se pone como la suma de las integrales a lo
largodecadaunodelosconjuntos.
3. La integral de una función no negativa es no negativa.
Lo primero que se hace es definir la integral doble en rectángulos de la forma R =[a, b] × [c, d].
Entonces a la integral doble sobre R de la función de dos variables f se la denotará por por
Z Z
f(x, y)dxdy
y podrá calcularse de cualquiera de las siguentes formas (Teorema de Fubini)
Z b
⎛
⎝
Z d
⎞
f(x, y)dy⎠ dx
R
Z d
⎛
⎝
Z b
⎞
f(x, y)dx⎠ dy
a
c
c
a
El método práctico para resolver la integral consiste en, si suponemos por ejemplo que lo estamos
haciendo de la última forma, realizar la integral
Z b
f(x, y)dx
a
que se realiza tomando como variable en el integrando x (la cual varía en el intervalo [a, b]) imaginando
que y no varía, como si fuera constante (si fuese necesario hay que tener en cuenta que el rango de
y es [c, d]). Después de hacer esto tendremos que el resultado será una función que dependerá de y,
la cual hay ahora que integrarla en [c, d].
Esta idea puede extenderse a integrales triples, cuádruples, etc.
Ejemplo 5.1
1. Dado el rectángulo
R =[0, 1] × [0, 3]
calcular la integral
Z Z
R
xydxdy
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