Tema 9: Integral de Riemann

luegolaintegralquedaasí
Z 1
0
Z1
xe x dx =[xe x ] 1 − 0
0
e x dx = e − 0 − [e x ] 1 0
= e − [e − 1] = 1
2.
Ze 2
log xdx
1
Vamos a calcular primero un primitiva de log x. Para ello hacemos el cambio
u =logx dv = dx por lo que se tiene que du = dx x
v = x
Entonces
Z Z
log xdx =logx · x −
x dx x = x log x − Z
dx = x log x − x = x(log x − 1)
Por tanto
Ze 2
1
log xdx =[x(log x − 1)] e2
1
= e 2 (2 − 1) − (0 − 1) = e 2 +1
1.3 Cambios de variable
Los cambios de variable pueden aplicarse también en integrales definidas. De modo similar al de la
integración por partes, tenemos dos opciones: o bien hallamos una primitiva de la función que hay
dentro de la integral realizando un cambio de variable y después aplicamos la regla de Barrow, o
bien aplicamos el cambio de variable directamente en la integral. De este último modo, si hacemos
el cambio
bR
x = ϕ(t) en la integral f(x)dx
obtendríamos
Z b
a
Z d
f(x)dx =
c
a
f(ϕ(t))ϕ 0 (t)dt
En la práctica normalmente los extremos c y d de la nueva integral son desconocidos y
tendremos que calcularlos. Loharemosteniendo en cuenta que
ϕ(c) =a ϕ(d) =b
Además, hay que tener presente que los puntos c y d deben eligirse de modo que la función ϕ sea
biyectiva, por lo que en general no sirven cualesquier puntos cumpliendo ϕ(c) =a yqueϕ(d) =b.
Ejemplo 1.6 Calcular las siguientes integrales definidas mediante el cambio de variable dado:
6