Tema 9: Integral de Riemann

6
4
2
-1
0 0
-2
1
x
2
3
-4
-6
Gráfica de la función f(x) =x 3 − 3x 2 +2x
Observación 3.2 (Importante) En la práctica, halladas las raíces, el área se puede obtener calculando
las integrales en cada uno de los subintervalos dados y sumando todos estos números en valor
absoluto. Así no nos preocuparía el signo hasta el final. En el caso anterior se haría así: Una vez
halladas las raíces 0, 1 y 2 los intervalos que nos salen a partir del dado [0, 3] serán [0, 1], [1, 2] y
[2, 3]. Entonces tenemos que el área es
Z 3
0
¯
¯x 3 − 3x 2 +2x¯¯ dx =
¯
Z 1
0
Z (x 3 − 3x 2 +2x)dx
¯ +
2
(x 3 − 3x 2 +2x)dx
¯
¯ +
¯
1
=
1
¯4¯ +
¯
¯−1 4¯ +
9
¯4¯ = 11 4
Z 3
2
(x 3 − 3x 2 +2x)
¯ dx =
Si se pide el área que la función f yelejeOX encierran, sin darnos ningún intervalo, se
sobreentiende que es la suma de las áreas de cada uno de los recintos con área finita que
delimita la curva y = f(x) con el eje OX.
Ejemplo 3.3 Hallar el área encerrada por la función
f(x) =x 3 − 3x 2 +2x
yelejeOX.
Si tenemos en cuenta que las raíces de f son 0, 1 y 2, debemos calcular la integral
Z 2
Z
¯
1
Z ¯x 3 − 3x 2 +2x¯¯ dx =
x 3 − 3x 2 +2xdx
¯
¯ +
2
x 3 − 3x 2 +2xdx
¯
¯ =
1
¯4¯ +
¯
¯−1 4¯ = 1 2
0
0
Nota: Si recordamos la gráfica de la función anterior se apreciará mejor la elección de los intervalos.
1
3.2 Área encerrada por dos funciones
El área que encierran dos funciones f y g en un intervalo [a, b], interpretadacomolasuma
delasáreaspositivasdelosrecintosqueencierranlascurvas
y = f(x)
y = g(x)
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