Tema 9: Integral de Riemann

puede calcularse, respectivamente, del siguiente modo
⎛
⎞
Z b h(x)
Z
⎜
⎟
⎝ f(x, y)dy⎠ dx
a
g(x)
Z d
c
⎛
Z
⎜
⎝
h(y)
g(y)
⎞
⎟
f(x, y)dx⎠ dy
En otras situaciones el recinto será posible ponerlo como unión de recintos de esta forma, con lo
cual la integral se transformará en una suma de integrales, una para cada uno de los susodichos
subrecintos.
Ejemplo 5.2
1. Dado el recinto
R = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1,y ≥ 0}
calcular la integral
Z Z
R
ydxdy
Como el recinto puede ponerse en la forma
la integral puede ponerse en la forma
⎛
Z 1
√ ⎞
1−x 2
Z
Z 1 ∙
⎜ ⎟ y
2
⎝ ydy⎠ dx =
2
−1
0
R = {(x, y) ∈ R 2 : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √ 1 − x 2 }
−1
¸√1−x 2
0
Z 1
dx =
−1
1
2 (1 − x2 )dx = 1 2
¸1 ∙x − x3
= 1 3
−1
2 · 4
3 = 2 3
2. Dado el recinto
R = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}
calcular la integral
Z Z
R
ydxdy
Como el recinto puede ponerse en la forma
R = {(x, y) ∈ R 2 : −1 ≤ x ≤ 1, − √ 1 − x 2 ≤ y ≤ √ 1 − x 2 }
la integral puede ponerse en la forma
⎛ ⎞
Z 1
−1
⎜
⎝
√
1−x 2
Z
− √ 1−x 2 ydy
⎟
⎠ dx =
Z 1
−1
∙ y
2
2
¸√1−x 2
− √ 1−x 2 dx =
Z 1
−1
0dx =0
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