Tema 9: Integral de Riemann

4.2 De revolución
El volumen del sólido obtenido al revolucionar (o girar) una curva continua y = f(x) alrededor del
eje OX alolargodelintervalo[a, b] se calcula mediante la integral
Z b
πf(x) 2 dx
a
Se denomina sólido de revolución. Si el giro se hace alrededor de un eje de ecuación y = c la fórmula
es
Z b
π[f(x) − c] 2 dx
a
(Notemos que el giro a lo largo del eje OX es un caso particular de lo anterior pues este eje tiene
por ecuación y =0.)
También es posible girar la curva alrededor del eje OY . Suponiendo que en el intervalo la curva
es siempre creciente o siempre decreciente, la integral que nos da ese volumen es
Z b
a
2πxf(x)dx
Si el giro se realiza alrededor de un eje de la forma x = c el volumen del sólido de revolución obtenido
es
b−c Z
a−c
2πxf(x + c)dx
Observación 4.2 Cualquiera de estas fórmulas se puede obtener a partir del apartado anterior,
calculando el sólido a partir de sus secciones planas transversales. Veamos por ejemplo, la primera.
Basta darse cuenta de que la sección transversal plana del sólido girado correspondiente a la abcisa
x es un círculo de radio f(x).
Ejemplo 4.3 Hallemos el volumen de un cono de radio r ydealturah.
Podemos obtenerlo como revolución alrededor del eje OX de la recta que pasa por los puntos (0, 0)
y (h, r), es decir de la curva de ecuación y = r x en el intervalo [0,h]. Deestemodoeláreasería
h
Z h
0
π r2
h 2 x2 dx = π r2
h 2 [x3 3 ]h 0 = π r2 h 3
h 2 3 = 1 3 πr2 h
Ejemplo 4.4 Hallemos el volumen de un cilindro de radio r ydealturah.
Podemos obtenerlo como revolución alrededor del eje OX de la recta que pasa por los puntos (0,r)
y (h, r), es decir de la curva de ecuación y = r en el intervalo [0,h]. Deestemodoeláreasería
Z h
πr 2 dx = πr 2
Zh
1dx = πr 2 [x] h 0 = πr 2 [h − 0] = πr 2 h
0
0
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