Tema 9: Integral de Riemann

4. Si f es una función integrable en [a, b] y α ∈ R, entonces la función αf es integrable en [a, b] y
se tiene que
Z b
Z b
αf = α f
a
a
Teorema 1.1 (Teorema fundamental del cálculo integral) Dada
f :[a, b] → R
una función continua. ∀x ∈ [a, b] definimos
F :[a, b] → R
por
Z x
F (x) =
f
Entonces ∀x ∈]a, b[ se tiene que F es derivable en x yque
a
F 0 (x) =f(x)
Concluimos que F es una primitiva de f en ]a, b[.
Veamos ahora lo que más utilizaremos a la hora de calcular las integrales definidas:
Proposición 1.2 (Regla de Barrow)Seaf :[a, b] → R una función continua y F :[a, b] → R
una primitiva de f. Entonces
Z b
f = F (b) − F (a)
Observación 1.3
a
1. Podremos usar las siguientes notaciones
F (b) − F (a) =[F (x)] b a
=[F (x)]x=b
x=a
2. Es indiferente la situación relativa entre a y b para aplicar la regla de Barrow, es decir, también
es válida aunque b