capitulo 6.circulación y vorticidad. - DGEO

∆C
=
∂v
∂x
∂u
∂y
x0
+ ∆x
y0
+ ∆y
x0
y0
∫ u0dx
+ ∫ ( v0
+ ∆x )dy + ∫ ( u + ∆ +
x
y
x +∆x
0
y )dx ∫y
+ ∆
0
0
0
0
y
v
0
dy
⎛ ∂v
∆ C = ⎜
⎝ ∂x
∂u
⎞
− ⎟∆x∆y
∂y
⎠
Recordemos que la componente vertical de la vorticidad ζ es
∂v
ζ =
∂x
∂u
−
∂y
≡ kˆ
⋅ ∇
r
×
H
v H
Como ∆A = ∆x ∆y, se tiene que:
∆C = ζ ∆A
Cuando ∆ → 0, la suma de todas las contribuciones de ∆C da la
circulación en torno a Γ, que es:
C = ∫∫ ζdA
≡ ∫
kˆ ⋅ ∇
A A H
r
× vdA
que dice que la circulación es igual a la integral de área de la vorticidad,
cuando se considera un área que encierra la curva Γ.
En forma más general, la relación entre la circulación y la vorticidad, se
puede obtener aplicando el teorema de Stokes al campo de velocidad:
C =
∫
Γ
r r
v ⋅ dr =
∫
r
∇ × v ⋅ nˆ dA
A
Para un área finita, la circulación dividida por el área da el promedio de
la componente normal de la vorticidad en esa región. La vorticidad se puede
considerar como una medida de la velocidad angular local del fluido, es el
doble de su velocidad angular.
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Cap. 6