capitulo 6.circulaciÃ³n y vorticidad. - DGEO

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(fig.) La curva Γ cambia su forma en el tiempo, pero siempre es la misma, así d/dt no afecta a la integral. dC dt = ∫ Γ d r r ( v ⋅ dr ) = dt ∫ Γ r dv r ⋅ dr + dt ∫ Γ r r d( dr ) v ⋅ dt Se puede demostrar (tarea) que el segundo término de la integral se anula por ser la integral de una diferencial exacta, así queda: dC dt r dv r = ⋅ d dt ∫ Γ Que es el enunciado del teorema de Kelvin y dice que la "aceleración de la circulación es igual a la circulación de la aceleración". Se puede combinar el teorema de Kelvin (que es cinemático) con la ecuación de movimiento y se obtiene una versión dinámica: dC dt ⎛ 1 r r r ⎞ r = ∫⎜− ∇p − 2Ω × v − ∇φ + F ⎟ ⋅ d Γ ⎝ ρ ⎠ 8 Cap. 6
Se observa que r ∇p ⋅ dr = dp, r ∇φ ⋅ dr = dφ ⇒ ∫ Γ r ∇φ ⋅ dr = ∫ Γ dφ = 0 Como dp ρ = αdp = d( pα ) − pdα ⇒ − ∫ Γ ∇p r ⋅ dr = − ρ ∫ Γ dp ρ = − ∫ Γ αdp = − ∫ Γ d( pα ) + ∫ Γ pdα integral que representa el trabajo de expansión. Se puede demostrar (tarea) que el término de Coriolis se puede escribir de la siguiente forma: y r r 2 2 ∫ Ω × v ⋅ dr = 2 Ω ⋅ ∫ r v r Γ Γ × ∫ Γ r r d 1 r r v × dr = ∫ × d Γ dt 2 recordando que el vector área A r r 1 r r asociado con la curva Γ es A = ∫ Γ × d , así 2 queda r r r dA ∫ Γ v × dr = ⇒ dt r r r r r dA 2 ∫ Γ Ω × v ⋅ dr = 2Ω ⋅ dt r d r 9 Cap. 6
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