capitulo 6.circulación y vorticidad. - DGEO

CAPITULO 6. CIRCULACIÓN Y VORTICIDAD.
En mecánica de cuerpo rígido, los puntos que constituyen el cuerpo son
tratados como un todo. Un enfoque similar se puede hacer en fluidos. Se
puede considerar un grupo de parcelas de fluidos sobre una curva cerrada, e
investigar lo que sucede con el grupo como un todo. Tomando una porción de
una curva Γ, y considerando en principio la velocidad de una parcela, que se
puede descomponer en sus componentes normal y tangencial sobre la curva.
Del esquema se ve que:
(va figura)
v t
r
= v ⋅ tˆ = vcosα
Se puede considerar la curva Γ formada por parcelas de fluidos. El
grupo de parcelas que forman la curva se mueven a lo largo de Γ con una
rapidez promedio, y si S es la longitud de Γ, entonces la rapidez promedio de
v t por definición es:
v
t
= 1
S
∫ Γ
v ds
t
Se define la circulación C de la velocidad por la expresión:
∫
C v
Γ t
= ds = vcosαds
∫
Γ
(va fig6-2)
1
Cap. 6

C es positiva cuando más parcelas se mueven en la dirección de la integración
a lo largo de Γ en promedio.
Circulación: es la integral de línea de la componente tangencial de la
velocidad alrededor de una curva cerrada. Es una medida del movimiento de la
parcela alrededor de una curva.
La curva Γ rodea un área, que cuando se hace infinitesimal, la
circulación indica una rotación del fluido alrededor de un eje normal a esa
pequeña área, es decir de la vorticidad. Es un concepto útil aunque nunca se ha
demostrado que los movimientos atmosféricos (u oceánicos) tengan lugar a lo
largo de trayectorias cerradas.
Si ds es infinitesimal, entonces ds = dr, con dr = t ds. Y como v t = v · t,
entonces
o bien:
r r r
C = v ⋅d
∫ v = ∫ ⋅ =
Γ tds
v tˆds
Γ ∫Γ
C = ∫ ( udx + vdy + wdz )
La unidad de medida de C es m 2 /s.
Γ
Por ejemplo, para la tierra en rotación con Ω, en este caso
circulación es:
C =
∫
Γ
r r
v ⋅ dr =
∫
2π
ο
r r r
Ω × R ⋅ dr
r r r
v = Ω × R y la
C
2
= ∫ π
ο
( ΩR )rdλ = 2πΩR
2
(fig.) 6.3a
2
Cap. 6

Se puede demostrar que la circulación C es igual a la suma de las
circulaciones individuales cuando Γ se subdivide en pequeños subdominios,
como en el esquema, así
(fig.) 6.3b
C = C 1 + C 2 + C 3 + ···
La subdivisión del dominio se puede hacer en áreas tan pequeñas como
se quiera, y la circulación alrededor de cada una indica la rotación del fluido
alrededor de un eje normal a cada área, esto indica que la circulación
alrededor de Γ de alguna forma está relacionada con la vorticidad. En el
ejemplo anterior se puede ver que C/π R 2 = 2Ω, es decir la circulación
dividida por el área que encierra Γ es el doble de su velocidad angular.
Como ejemplo calculemos C en un pequeño circuito ∆Γ en el plano x, y,
donde la velocidad cambia en ∆v cuando r cambia en ∆r, como se ve en el
esquema.
Fig6.4
3
Cap. 6

∆C
=
∂v
∂x
∂u
∂y
x0
+ ∆x
y0
+ ∆y
x0
y0
∫ u0dx
+ ∫ ( v0
+ ∆x )dy + ∫ ( u + ∆ +
x
y
x +∆x
0
y )dx ∫y
+ ∆
0
0
0
0
y
v
0
dy
⎛ ∂v
∆ C = ⎜
⎝ ∂x
∂u
⎞
− ⎟∆x∆y
∂y
⎠
Recordemos que la componente vertical de la vorticidad ζ es
∂v
ζ =
∂x
∂u
−
∂y
≡ kˆ
⋅ ∇
r
×
H
v H
Como ∆A = ∆x ∆y, se tiene que:
∆C = ζ ∆A
Cuando ∆ → 0, la suma de todas las contribuciones de ∆C da la
circulación en torno a Γ, que es:
C = ∫∫ ζdA
≡ ∫
kˆ ⋅ ∇
A A H
r
× vdA
que dice que la circulación es igual a la integral de área de la vorticidad,
cuando se considera un área que encierra la curva Γ.
En forma más general, la relación entre la circulación y la vorticidad, se
puede obtener aplicando el teorema de Stokes al campo de velocidad:
C =
∫
Γ
r r
v ⋅ dr =
∫
r
∇ × v ⋅ nˆ dA
A
Para un área finita, la circulación dividida por el área da el promedio de
la componente normal de la vorticidad en esa región. La vorticidad se puede
considerar como una medida de la velocidad angular local del fluido, es el
doble de su velocidad angular.
4
Cap. 6

En forma análoga a las líneas de corriente se pueden dibujar líneas de
vórtice, que son tangentes al vector vorticidad. Una curva cerrada que en
todas partes del fluido encierre líneas de vórtice forma un tubo de vórtice. La
integral ∫∇ × v r ⋅ nˆ dA representa el flujo de vorticidad normal a la superficie A,
A
que se llama flujo de vórtice.
Fig6.6
Ejemplo: para el caso de un flujo con velocidad v = bR t, b > 0 y R la
distancia radial desde el centro de la circulación, que representa un flujo
circular estacionario, calcular la circulación y la vorticidad.
Solución:
C = r r
∫ vH
⋅ dr = ∫
Γ
2π
0
bR( Rdθ
) = 2πR
2
b
2
C 2πR
b
= ζ ⇒ = ζ ⇒
2
A πR
ζ = 2b
Otra forma es haciendo el siguiente cálculo:
ζ =
v
R
∂v
− =
∂n
bR
R
∂v
+
∂R
= b + b
ζ = 2b
5
Cap. 6

VORTICIDAD ABSOLUTA.
Si bien la velocidad absoluta v a no es de interés en la mecánica de
fluidos, la vorticidad de la v a si lo es. Recordemos que:
r
v a
r r r
= v + Ω ×
El rotor de v a se llama vorticidad absoluta q a , y su expresión es:
r
q
a
r
= ∇ × v
a
= ∇ ×
r
r r
( v + Ω ×
)
Desarrollando el último término, se tiene:
∇ ×
r
r
( Ω × r ) = 2Ω
y reemplazando en la vorticidad absoluta,
r
q a
r r
= ∇ × v + 2Ω
La vorticidad absoluta es igual a la vorticidad relativa más la vorticidad
de la Tierra 2Ω.
La componente vertical de la vorticidad terrestre se calcula de la
expresión:
r r r
2 Ω = 2Ωcosφĵ
+ 2Ω
senφkˆ
k r
⋅ 2Ω r
= 2Ω
senφ
= f
6
Cap. 6

Se ve que el parámetro de Coriolis f es la componente vertical de la
vorticidad terrestre o planetaria 2Ω. Entonces la componente vertical de la
vorticidad absoluta η, o simplemente vorticidad absoluta η, es:
η = ζ + f
La vorticidad absoluta es un concepto importante, por ejemplo, para
flujo de gran escala ζ ∼ ± 10 -5 s -1 y f ∼ 10 -4 s -1 , (-10 -4 s -1 en el HS)
| ζ | < f ⇒ η > 0 ciclónica casi siempre (HN)
(η < 0 ciclónica HS)
Valores negativos de η se dan en regiones aisladas del globo, por
ejemplo, en cuñas inestables o cerca de frentes, y son de gran significado
dinámico, ya que indican la inestabilidad del fluido.
TEOREMAS DE CIRCULACIÓN.
Los vórtices no son fenómenos estacionarios, cambian su tamaño e
intensidad y se mueven en el fluido. Por lo tanto se deben esperar cambios en
la circulación y vorticidad en el tiempo.
La curva Γ elegida arbitrariamente, formada por parcelas de fluidos, por
lo que se llama curva material o física, también cambia su forma en el tiempo,
pero siempre está compuesta por el mismo conjunto original de parcelas (liga
de goma por ejemplo).
Para una curva material, la tasa de cambio de la circulación dC/dt, que
se llama "aceleración de la circulación" es:
dC d r r = ∫Γ
v ⋅ dr
dt dt
7
Cap. 6

(fig.)
La curva Γ cambia su forma en el tiempo, pero siempre es la misma, así
d/dt no afecta a la integral.
dC
dt
=
∫
Γ
d r r
( v ⋅ dr ) =
dt
∫
Γ
r
dv r
⋅ dr +
dt
∫
Γ
r
r d( dr )
v ⋅
dt
Se puede demostrar (tarea) que el segundo término de la integral se
anula por ser la integral de una diferencial exacta, así queda:
dC
dt
r
dv r
= ⋅ d
dt
∫
Γ
Que es el enunciado del teorema de Kelvin y dice que la "aceleración de
la circulación es igual a la circulación de la aceleración".
Se puede combinar el teorema de Kelvin (que es cinemático) con la
ecuación de movimiento y se obtiene una versión dinámica:
dC
dt
⎛ 1 r r r ⎞ r
= ∫⎜−
∇p
− 2Ω × v − ∇φ + F ⎟ ⋅ d
Γ ⎝ ρ
⎠
8
Cap. 6

Se observa que
r
∇p
⋅ dr = dp,
r
∇φ ⋅ dr = dφ ⇒
∫
Γ
r
∇φ ⋅ dr =
∫
Γ
dφ = 0
Como
dp
ρ
= αdp
= d( pα
) −
pdα
⇒
−
∫
Γ
∇p
r
⋅ dr = −
ρ
∫
Γ
dp
ρ
= −
∫
Γ
αdp
= −
∫
Γ
d( pα
) +
∫
Γ
pdα
integral que representa el trabajo de expansión.
Se puede demostrar (tarea) que el término de Coriolis se puede escribir
de la siguiente forma:
y
r
r
2 2 ∫ Ω × v ⋅ dr = 2 Ω ⋅ ∫
r
v r
Γ Γ ×
∫
Γ
r r d 1 r r
v × dr = ∫
× d
Γ
dt 2
recordando que el vector área A r r 1 r r
asociado con la curva Γ es A = ∫ Γ × d
, así
2
queda
r
r r dA
∫ Γ
v × dr = ⇒
dt
r
r r r r dA
2 ∫ Γ
Ω × v ⋅ dr = 2Ω
⋅
dt
r
d
r
9
Cap. 6

Reemplazando todos los términos modificados en la expresión de dC/dt,
se obtiene el teorema de Bjerknes de la circulación, que describe como
cambia en el tiempo la circulación relativa:
dC
dt
r
r dA r r
= ∫ pdα − 2 Ω ⋅ + ∫ F ⋅ dr
Γ
dt
Γ
El último es un término disipativo y representa el trabajo por las
tensiones viscosas.
Geométricamente se obtiene que Ω
r
⋅ A r
= ΩAe
, con A e proyección de A
r r
sobre el plano ecuatorial y − 2Ω ⋅( dA / dt ) = −2ΩdAe
/ dt .
Fig6.11
CIRCULACIÓN ABSOLUTA.
C
a
Se define como:
r r r r r r
= ∫Γ
v ⋅ dr , con = v + Ω ×
, que al reemplazar queda:
a
v a
C a
r r r r r
= v ⋅ dr + Ω ×
⋅ d
∫
Γ
∫
Γ
10
Cap. 6

C
a
r r r
= C + Ω ⋅ ∫ Γ
× dr ⇒
C
a
= C + 2ΩA
e
La circulación absoluta es la suma de la circulación relativa y un
término que depende de la proyección sobre el ecuador del área máxima
encerrada por Γ.
La aceleración de la circulación absoluta es
dC
dt
a
dC dAe
= + 2 Ω ,
dt dt
reemplazando en ésta la expresión de dC/dt queda
dC a
dt
r r
= pdα + F ⋅ d
∫
Γ
∫
Γ
que es el teorema de Bjerknes de la circulación absoluta.
Si el área A está dirigida directamente sobre la vertical local, entonces
A e
= senφ y 2 ΩA e
= 2ΩAsenφ
= fA
C a
= C +
fA
r r
Se dijo que el término ∫ F ⋅ d
representa los efectos disipativos por
viscosidad, que produce una reducción de la circulación. Veamos nuevamente
el término ∫ pd α , si se representa el estado físico de cada punto sobre la curva
material en el diagrama (α, p), esta integral da el área encerrada por la curva.
Considerando isolíneas p, p+1, .... , y α, α + 1, ..... , en el diagrama (α, p), se
define una red de cuadrados unitarios, por lo que el área de cada cuadrado es
uno.
11
Cap. 6

(Ver esquema).6.13
Cada uno de estos cuadrados se llama solenoide (α, p) y se puede
considerar el área total encerrada por la curva en el diagrama (α, p) como la
suma de los cuadrados unitarios. Por lo tanto, se puede decir que la ∫ pd α es
igual al número de solenoides encerrado por la curva en el gráfico (α, p) y se
define el número de solenoides N p,α por:
∫ Γ
pd
α = N p , α
Con esto se puede escribir el teorema de la circulación absoluta en la
forma:
dC
dt
a
r r
= N + F ⋅ d
p , α
∫ Γ
El número de solenoides p,α puede ser positivo, negativo o cero, según
el valor de la integral. El sentido de la aceleración de la circulación puede ser
determinado en forma muy simple de un mapa de tiempo o de un corte
vertical.
Como dα es diferencial exacta, dα = ∇α · dr, así:
12
Cap. 6

∫ pdα =
Γ ∫ p∇α ⋅ dr =
Γ ∫
r
A
∇ × ( p∇α
) ⋅ nˆ dA
como
∇ × ( p∇α
) = ∇p
× ∇α + p∇ × ∇α = −∇α × ∇p
= ∇α × ( −∇p )
se obtiene que:
6.14
N
p , α
=
∫
Γ
pdα ≡
∫
A
∇α × ( −∇p ) ⋅ nˆ dA
r
El vector solenoidal N p,α se define como = ∇α × ( −∇p
).
N p , α
Cuando en la atmósfera los vectores ∇α y -∇p son colineales, se llama
atmósfera barotrópica, aquí N p,α = 0; en caso contrario se llama baroclínica.
Atmósfera barotrópica: una atmósfera en la cual las superficies de presión
constante son también superficies de densidad constante.
Atmósfera baroclínica: aquella en la cual las superficies isobáricas intersectan
las superficies de densidad constante.
13
Cap. 6

LA ECUACIÓN DE VORTICIDAD.
Para flujo cuasihorizontal en gran escala, estudiaremos las variaciones
temporales de la vorticidad relativa ζ y absoluta η. Tomando la derivada
temporal de la vorticidad relativa:
ζ = kˆ ⋅ ∇
H
r
× v
H
⇒
∂ζ
=
∂t
∂
∂
( kˆ
t
⋅ ∇
H
r
× v
H
) = kˆ ⋅ ∇
H
r
∂v
×
∂t
H
Tomando la ecuación de movimiento relativo horizontal:
r
∂v
∂t
r
r r ∂v
+ v ⋅ ∇v
+ w
∂z
+ α∇p
+
r r
fkˆ × v −
F RH
= 0
El término de la advección horizontal se puede escribir como: (tarea)
r r r
2
v ⋅ ∇v
= ζkˆ
× v + ∇( v / 2 )
combinando con el término de Coriolis:
r r r r
2
v ⋅ ∇v
+ fkˆ × v = ηkˆ
× v + ∇( v / 2 )
y la ecuación de movimiento se puede escribir en la forma:
r
r
∂v
r ∂v
+ ηkˆ
× v + w
∂t
∂z
+ α∇p
+ ∇( v
14
2
r
/ 2 ) −
F RH
= 0
Cap. 6

Tomando el rotor de esta ecuación, operando con el término kˆ ⋅ ∇ × , se
obtiene la ecuación de vorticidad. Luego de aplicar ese operador (tarea hacer
cálculos), se analiza cada término:
kˆ
kˆ
⋅ ∇ ×
r
∂v
∂ζ
=
∂t
∂t
r r r
⋅ ∇ × ( ηkˆ
× v ) = v ⋅ ∇η + η∇v
r
⎛ ∂v
kˆ ⋅ ∇⎜
w
⎝ ∂z
⎞
⎟
⎠
r
∂v
= kˆ ⋅ ∇w
×
∂z
∂ζ
+ w
∂z
kˆ
⋅ ∇ ×
( α∇p ) = kˆ
2
kˆ ⋅ ∇ × ∇( v / 2 ) = 0
F RH
⋅ ∇α ×
r
kˆ ⋅ ∇ × no cambia
∇p
Reagrupando todos los términos en la ecuación:
r
∂ζ r ∂ζ
r ∂v
r
+ v ⋅∇η+ w = −kˆ
⋅∇α×∇p
−η∇⋅ v −kˆ
⋅∇w×
+ kˆ ⋅∇×
∂t
∂z
∂z
F RH
Como f depende sólo de la latitud, se puede escribir f = f(y), lo que
permite transformar los siguientes términos:
∂ζ
∂t
∂
= ( ζ +
∂t
f
∂η
) =
∂t
∂ζ ∂
= ( ζ +
∂z
∂z
f
∂η
) =
∂z
15
Cap. 6

De esta forma se obtiene la ecuación de la vorticidad absoluta:
r
dη
r ∂v
= −kˆ
⋅ ∇α × ∇p
− η∇ ⋅ v − kˆ ⋅ ∇w
×
dt
∂z
+ kˆ
⋅ ∇ ×
r
F RH
La vorticidad de la parcela de fluido puede cambiar por varios efectos:
− kˆ ⋅ ∇α × ∇p : la vorticidad cambia por la presencia de solenoides en una
atmósfera baroclínica
− η∇ ⋅ v r , en gran escala η > 0. La convergencia ∇·v < 0, (divergencia ∇·v > 0)
horizontal produce un aumento (disminución) de la vorticidad absoluta.
r
∂v
− kˆ ⋅ ∇w
× : se llama término de deformación o inclinación. Su efecto es
∂z
convertir vorticidad horizontal en vorticidad vertical por efecto de las
variaciones horizontales del movimiento vertical.
r
kˆ ⋅ ∇ × F RH
: es el término de fricción; tiene un efecto retardador sobre la
vorticidad. Con la hipótesis de Navier-Stokes, para ν constante se escribe
ν∇ 2 ζ. En regiones donde ζ tiene un máximo positivo (negativo), ∇ 2 ζ < 0 (∇ 2 ζ
> 0), el efecto de este término es reducir extremos de vorticidad por difusión a
través del fluido.
Además de los cuatro efectos mencionados, se pueden producir
variaciones locales de vorticidad absoluta y relativa ( ∂ η / ∂t
≡ ∂ζ / ∂t
) por
advección de vorticidad horizontal y vertical.
La fuerza de Coriolis puede producir cambios de vorticidad aún si la
vorticidad relativa es inicialmente cero. La advección de la vorticidad de la
Tierra contribuye a cambios locales, en la forma:
r r
− v ⋅ ∇η = v∇(
ζ +
f
)
16
Cap. 6

Si inicialmente ζ = 0, se reduce a
∂f
− v
r ⋅ ∇η = −u
∂x
∂f
− v
∂y
= −βv
∂f
donde β = se llama parámetro de Rossby, corresponde a la variación
∂y
latitudinal de f.
∂(
2Ω
senφ
) ∂(
2Ω
senφ
) 2Ω
β =
=
= cosφ
∂y
R ∂φ R
T
T
β representa la magnitud del gradiente de vorticidad planetaria ∇f. Si el
aire se mueve hacia el norte, v > 0, (sur, v < 0) se advecta vorticidad
planetaria negativa (positiva) sobre un punto y ∂η
/ ∂t
≡ ∂ζ / ∂t
≠ 0 aún si
todos los otros términos son nulos.
Para el término de la divergencia, si inicialmente ζ = 0, se reduce a:
r r
− η∇ ⋅ v = − f∇ ⋅ v
y el término de Coriolis genera vorticidad.
Para un fluido incompresible, barotrópico y sin fricción, de profundidad
H, la ecuación de vorticidad se reduce a:
r
dη
r ∂v
= −η∇ ⋅ v − kˆ ⋅ ∇w
×
dt
∂z
Como el fluido es incompresible,
dρ
r r ∂w
= 0 ⇒ ∇ ⋅ v = 0 ⇒ ∇ ⋅ v + = 0
dt
∂z
17
Cap. 6

Sabemos que se puede asociar la divergencia vertical con la tasa de
cambio fraccional de la altura H, ∂ w / ∂z
= dH / Hdt . Si se desprecia el
término de inclinación, que para el caso de viento geostrófico este término si
se anula, la ecuación de vorticidad reducida se simplifica a:
dη
=
dt
η
H
dH
dt
que se puede escribir en la forma:
1 dη
−
η dt
1
H
dH
dt
= 0
d
dt
⎛ η
⎜
⎝ H
⎞
⎟
⎠
=
d ⎛ ζ +
⎜
dt ⎝ H
La cantidad (ζ + f)/H se llama vorticidad potencial y la última ecuación
es la ecuación de vorticidad potencial. Indica que para un fluido
incompresible, barotrópico, sin fricción la vorticidad potencial se conserva, es
decir (ζ + f)/H es constante.
Si el flujo es horizontal, w = 0, el término de divergencia vertical se
anula, se obtiene la ecuación de vorticidad barotrópica:
d
(
dt
f
ζ + f ) = 0
que indica que la vorticidad absoluta η = ζ + f se conserva en este caso.
⎞
⎟
⎠
= 0
18
Cap. 6