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☛ 29. Exprese lo siguiente en
términos de logaritmos naturales:
a) log 2
e b) log 5
6
Por ejemplo,
ln 3 1.0986
log 2
3 1.5850 ☛ 29
ln 2 0.6931
De manera alterna, podemos utilizar logaritmos comunes:
log 2
3 l og
3
0 . 4771
1.5850
log
2 0.
3010
Ahora bien, sea y b en la fórmula de cambio de base. Entonces el numerador
del lado derecho se transforma en log b
b, que es igual a 1. Por tanto, obtenemos
los resultados siguientes:
1
log b
a (log log a
b)(log b
a) 1
a b
EJEMPLO 8 Si b 10, tenemos
Por ejemplo,
1
log a
10
lo g a
1 1
log 2
10 3.3219
lo g 2 0.3 010
1 1
log 3
10 2.0959
lo g 3 0.4 771
1
ln 10 log e
10
lo g e
Hasta cuatro cifras decimales, los valores de estos dos logaritmos son
log e log(2.7183) 0.4343 y ln 10 2.3026
Cada uno de ellos es recíproco del otro.
1
Respuesta a) b) ln 2
ln 6
La fórmula del cambio de base nos permite relacionar un logaritmo de una base
general a con un logaritmo común. En particular, tomando a e, podemos expresar
el logaritmo natural en términos del logaritmo común:
En consecuencia
log e
y l og
y log
y
log
e 0 . 4343
ln y 2.3026 log y
ln 5
SECCIÓN 6-4 APLICACIONES Y PROPIEDADES ADICIONALES DE LOS LOGARITMOS 253