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y las ecuaciones lineales
y t 1.5, 2x 3y u 6, x y 2.5
☛ 10. Introduzca variables de
holgura para los siguientes
conjuntos de desigualdades
a) x 0, y 0, x 3y 3,
2x y 2
b) x 0, y 0, z 0,
x y z 30,
2x 3y 2z 12
Observe que en este ejemplo, el conjunto de desigualdades originales se reemplazó
por tres ecuaciones lineales junto con la condición de que las cinco variables
que aparecen en estas ecuaciones no sean negativas. Decimos que el problema de
programación lineal se ha reducido a la forma estándar. En general un problema
de programación lineal se dice que está en forma estándar si consiste en encontrar
el valor máximo de una función objetivo Z que es una función lineal en un número
de variables tales como x 1
,x 2
, ..., x k
en donde x 1
,x 2
, ..., x k
no son negativas y satisfacen
cierto número de desigualdades lineales. ☛ 10
Cuando un problema de programación lineal se cambia a su forma estándar,
la solución permanece sin cambio. Esto es, los valores de las variables que optimizan
la función objetivo para el nuevo problema son los mismos que optimizan la
función objetivo en el problema original. (Por supuesto, el nuevo problema también
tiene variables extra).
EJEMPLO 2 Reduzca el problema dado en el ejemplo 2 de la sección 10-2 a su forma
estándar.
Solución El problema dado se refiere a un productor de fertilizantes que elabora x
toneladas de fertilizante del tipo regular y y toneladas del tipo super. La función de
utilidad Z 300x 480y debe maximizarse sujeta a las siguientes condiciones:
x 0, y 0, 0.3x 0.4y 9
0. 6x 0.3y 13.5, 0.1x 0.3y 6, x y 25
Definimos variables de holgura t, u, y w de tal manera que las últimas cuatro
desigualdades se conviertan en igualdades:
0.3x 0.4y t 9 0.6x 0.3y u 13.5
0.1x 0.3y 6 0.6x 0.6y w 25
(1)
Así, el problema de programación lineal puede establecerse en la forma estándar de
la siguiente manera: maximizar la función lineal
Z 300x 480y
en donde x, y, t, u, y w son las variables no negativas que satisfacen las ecuaciones
(1).
Respuesta a) x 3y t 3,
2x y u 2,
x 0, y 0, t 0, u 0
b) x y z t 30,
2x 3y 2z u 12,
x 0, y 0, z 0, t 0,
u 0
Consideremos el significado de las variables de holgura en el contexto de este
ejemplo. La elaboración de x toneladas de fertilizantes del tipo regular y de y toneladas
del tipo super emplean 0.3x 0.4y toneladas de nitratos. La condición 0.3x
0.4y 9 establece que esta cantidad no puede exceder el suministro disponible
de 9 toneladas. La variable de holgura t 9 (0.3x 0.4y) es igual a la cantidad
de nitratos que sobran o están sin usar. La condición t 0 tiene la interpretación
simple de que la cantidad de nitratos sobrantes puede ser cero o positiva pero
nunca negativa.
SECCIÓN 10-3 TABLA SÍMPLEX 419