matematicas-aplicadas-a-la-administracion-airya-5edi

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☛ 8. En cada caso, ¿cuál es mínimo común denominador? a) 2 3 y 5 6 ; b) 1 2xy y x 8y EJEMPLO 6 Simplifique: a) 5 6 1 2 b) 5 6 3 4 Solución a) Podemos escribir 1 2 1 3 3 . Entonces ambas fracciones tienen el 6 mismo denominador, de modo que podemos sumarlas. 2 3 SECCIÓN 1-2 FRACCIONES 13 5 6 1 2 5 6 3 6 5 3 8 6 6 4 3 b) En la parte a), multiplicamos el numerador y el denominador de 1 2 por 3 para obtener un denominador igual al de la otra fracción. En esta parte, ambas fracciones deben modificarse para que tengan un factor común. Escribimos Por tanto, 5 6 1 0 y 3 12 4 9 12 5 6 3 4 1 0 9 10 9 1 12 1 2 12 1 2 Respuesta a) 6; b) 8xy En general, cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores diferentes, primero reemplazamos cada fracción por una equivalente que tenga un denominador común. Con el propósito de mantener los números tan pequeños como sea posible, elegimos el más pequeño de tales denominadores comunes, denominado el mínimo común denominador (m.c.d.). Aún obtendríamos la respuesta correcta utilizando un denominador común más grande, pero es preferible usar el mínimo denominador posible. Por ejemplo, en la parte b) del ejemplo 6, pudimos emplear 24 como un denominador común: 5 6 3 4 2 0 1 8 20 18 2 1 24 24 24 2 4 1 2 La respuesta final es la misma, pero habríamos tenido que trabajar con números más grandes. Para calcular el m.c.d. de dos o más fracciones, los denominadores deben escribirse en términos de sus factores primos. El m.c.d. se forma entonces tomando todos los factores primos que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cada uno de tales denominadores debe incluirse tantas veces como ocurra en cualquiera de los denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de 5 6 y 3 , 4 se encuentra escribiendo los denominadores en la forma 6 2 3 y 4 2 2. Los factores primos que ocurren son 2 y 3, pero 2 aparece dos veces en un denominador. De modo que el m.c.d. es 2 2 3 12. Como un segundo ejemplo, consideremos el m.c.d. de 5/12x y 7/10x 2 y. Escribimos 12x 2 2 3 x y 10x 2 y 2 5 x x y Tomando cada factor el mayor número de veces que aparezca, tenemos que m.c.d. 2 2 3 5 x x y 60x 2 y ☛ 8
EJEMPLO 7 Simplifique: Solución Por tanto, Entonces, x 3y 1 a) b) 1 6 4 9 x 6 c) a c b d 4a d) e) 3x 1 3 x 2 3 4xy 5b b 3 a) El m.c.d. es 12 x 2x 1 y 3 y 3( 3y) 9y 6 2 4 12 1 2 x 3y 2x 9y 2x 9y 6 4 1 2 1 2 12 b) El m.c.d. en este caso es 18x, de modo que 1 2 9 x 1 8x y 1 6 3x 18x 1 1 9 x 6 2 18x 3x 2 3x 18x 18x ☛ 9. Evalúe y simplifique a) 2 3 5 4 ; b) x 7x 2y 8 y c) El m.c.d. es cd a c b d a d b c ad bc ☛ 9 cd cd cd d ) Aquí tenemos una fracción cuyo denominador a su vez incluye una fracción. Primero simplificamos el denominador: 5b b 3 15b b 14 b 3 3 Entonces la expresión dada es 4a 4a 14 b3 14 b 1 3 4a 3 1 4b 6 a 7b e) Primero simplificamos la expresión que se encuentra entre paréntesis. El mínimo común denominador es 12x 2 y. Respuesta a) 2 3 ; b) 3 x 12 8y 1 3 x 2 3 4xy 4y 9x 12x 2 y 12 x 2 4y 9x y 12x 2 y 14 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA
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lo cual concuerda con la ecuación
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EJEMPLO 4 Solución Resuelva la ecu
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EJERCICIOS 2-1 (1-10) Compruebe si
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Paso 2 Luego, el segundo entero es
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17. (Inversión) Una persona invirt
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Observemos que el punto crucial del
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☛ 12. Resuelva la ecuación: x 2
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Terminamos esta sección deduciendo
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41. 7x 3(x 2 5) x 3 42. 2x(4x
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a una renta de $180 mensuales. A un
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Solución Al final del primer año,
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c) Determine la altura máxima que
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16. 21x 30 45x 26 17. 32x 8 x *
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Por una colección bien definida, e
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Usamos los símbolos q (infinito) y
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EJEMPLO 1 a) 3 x 2x 4 es una desi
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Pero, dado que (a c) (b c) es po
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Solución En este caso, como x apar
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mano de obra. Determine el número
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3/2 0 4 FIGURA 8 quier punto en cad
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Solución El ingreso I (en dólares
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lar de incremento en el precio, las
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establece que la distancia entre x
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Solución Utilizando la proposició
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(37-38) Exprese las siguientes afir
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42. ⏐2x⏐ ⏐x⏐ 12 *43. ⏐x
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CAPÍTULO 4 Líneas rectas El probl
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☛ 1. Grafique los puntos (4, 0),
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y (0, y 2 ) B Q (x 2 , y 2 ) (0, y
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face cuando sustituimos x 1 y y 1.
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TABLA 3 q 0 1 2 3 p 10 7 4 1 Grafic
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Observemos que la elevación es igu
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A través de cualquier punto, hay p
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Enseguida, supóngase que la línea
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☛ 9. Determine la pendiente y la
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Esto se ilustra en la figura 17. De
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Haciendo x 0 en la ecuación (2),
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☛ 14. Una compañía está utiliz
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(20, 25) y (30, 20). La pendiente d
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cienden a 2000 televisores al mes.
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DEFINICIÓN Un sistema de ecuacione
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Solución La primera etapa consiste
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líneas, y de aquí, dan una soluci
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Solución En este sistema, una de l
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Ahora tenemos que resolver dos ecua
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por las ventas, no hay utilidad ni
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elación lineal como una representa
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☛ 25. Si la ley de la demanda es
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EJEMPLO 7 (Subsidio y punto de equi
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(9-14) (Equilibrio del mercado) Det
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6. Pasa por los puntos (0, 0) y (7,
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CASO DE ESTUDIO EL PROBLEMA DE LA S
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5-1 FUNCIONES ☛ 1. ¿Lo siguiente
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Por tanto, g(1) g(h) 6 3h 2 2h
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☛ 4. Grafique las funciones y 4
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les x para los cuales f (x) es un n
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En los ejemplos anteriores, hemos e
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Una función f definida por la rela
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(19-24) Evalúe [ f (x h) f (x)]/
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65. De un hoja rectangular de 20 1
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Solución Comparando la ecuación y
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☛ 14. En el ejemplo 3, exprese la
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) El ingreso I obtenido por vender
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☛ 17. Dibuje las gráficas de f (
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☛ 18. Determine la ecuación del
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Algunas veces sucede que una empres
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Funciones valor absoluto Si x es un
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Solución Para 3 x 0, esto es, pa
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tintas al tiempo t; ahora, el ingre
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) g(4) 4 2. Tenemos (f ° g)(4)
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3q 600. Como una función de la ca
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La ecuación (1) podría pensarse t
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13. xy 2 (x 2 1)y x 0 14. y 2
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32. (Función de costo) El costo po
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CAPÍTULO 6 Logaritmos y exponencia
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EJEMPLO 1 (Inversiones) Una suma de
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Para la segunda, i 0.0305 y k 4,
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EJEMPLO 8 (Inversión) Una inversi
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EJERCICIOS 6-1 (1-2) Si $2000 se in
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6-2 FUNCIONES EXPONENCIALES Conside
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5 y y = 3 x 1 y = ( ) 3 x 4 3 y =
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☛ 11. Utilizando los valores tabu
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35. Durante el otoño, en promedio
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Al igual que con cualquier función
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Los logaritmos tienen las cuatro pr
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) En la base de la tabla, encontram
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Logaritmos comunes En algún tiempo
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(23-28) Dado que log 5 0.6990 y lo
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Por tanto, log 2.5 0.3979 n (de
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) e (1.609)t ; c) e [ln (1i )]t P
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☛ 29. Exprese lo siguiente en té
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y y m y 0 0 t Por tanto, y se hace
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Tomando logaritmos naturales de amb
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tamaño de la población después d
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h) l n a5 ln a ln a3 2 1 i) log
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Calcule el porcentaje de la muestra
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CAPÍTULO 7 Progresiones y matemát
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El n-ésimo término está dado por
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Si la inversión es a interés simp
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☛ 7. Una PA tiene segundo términ
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* 28. (Descuento simple) La señori
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16 243 a r8 ar3 1 2 r 5 1
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S n a( 1 r n ) 1 r Esto prueba
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☛ 13. El decimal recurrente 0.515
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Planes de ahorro El tipo más simpl
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En consecuencia, la ecuación (1) t
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24. (Plan de ahorro) El señor Lóp
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que describen un proceso que evoluc
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y se satisface la ecuación en dife
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TABLA 4 n 0 1 2 3 4 5 6 7 Año 1991
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Por lo regular, esta ecuación en d
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Ahora, el préstamo inicial (que es
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0.5 y n y n1 y 1 00 n1 1000 1.
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a) Determine la ecuación en difere
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TEOREMA 2 a) n k1 b) n k1 c) n k
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☛ 32. Evalúe a) 20 (j 1) 2 j1
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7
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CASO DE ESTUDIO ¿CÓMO SALVAR EL H
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8-1 MATRICES Una empresa produce cu
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Una matriz con el mismo número de
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Respuesta Calculamos la matriz de v
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a) Escriba una matriz que represent
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En consecuencia, en detalle, ☛ 8.
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Por consiguiente, AI IA A. Advert
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Definimos la matriz A m n cuyos el
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36. Dé un ejemplo de dos matrices
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2y 2. Sumando esto a la primera ec
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☛ 13. Escriba la matriz aumentada
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Usemos ahora el segundo renglón pa
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Para la primera columna aplicamos l
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8-4 SISTEMAS SINGULARES Todos los s
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Al igual que en el ejemplo 1, obtuv
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Solución La matriz aumentada es P
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*32. Daniela es la gerente de una c
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Por tanto, para el segundo año: C(
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9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ DEFINI
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o bien, Por consiguiente, a 3c b
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Leontief, la economía de Estados U
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☛ 7. ¿Cuáles son las produccion
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☛ 9. Una economía de dos sectore
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9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) Un
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☛ 10. ¿Las matrices siguientes s
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Hoy Primer día Segundo día Tercer
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EJEMPLO 4 (Predicción del tiempo)
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en lugar de [0.25 0.75]. En otras p
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Estado 1 Estado 2 Estado 1 0.6 0.4
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a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
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Solución Desarrollando por el prim
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Una aplicación importante de los d
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Debe señalarse que la regla de Cra
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De manera similar, 11 1 2 3 A 11 (
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a) Determine la matriz insumo-produ
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TABLA 10 Industria Demandas Producc
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44. Tira un par de dados no cargado
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CAPÍTULO 10 Programación lineal C
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La gráfica de la desigualdad Ax B
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90y 30,000 165x 165 30,000 90y x
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☛ 4. ¿Cómo se modifican las des
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nen un costo no mayor de $1.00 y qu
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y 40 5x 3y 105 20 (12, 14) 2x 4y
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☛ 7. Utilice el método gráfico
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te evidente que la línea de utilid
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Consideremos un problema de program
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y 20% de nueces; mientras que la m
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y las ecuaciones lineales y t 1.5
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y 3 2 A x y 2.5 (v 0) B y 1.5 (
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☛ 13. Construya la tabla símplex
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0.3x 0.4y t u w 19.5 0.6x 0
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10-4 MÉTODO SÍMPLEX El procedimie
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Variable de salida u: Mediante un a
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x y t u y 0 1 2 7 1 7 2 x 1 0
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Paso 1 Definimos las variables de h
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EJEMPLO 3 Minimice C 10 x 2y suj
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CASO DE ESTUDIO PRODUCCIÓN ÓPTIMA
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11 CAPÍTULO CAPÍTULO La derivada
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q 1 500(150 p 1 ) 500(150 120)
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☛ 2. Calcule y para valores gener
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s(t) 16t 2 Determine la velocidad
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) t 3 y t 4 años c) t 3 y t 3
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TABLA 1 t s/t 0.5 0.25 0.1 0.01 0.0
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☛ 7. Utilizando los teoremas 1 y
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☛ 9. Evalúe los siguientes lími
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EJERCICIOS 11-2 (1-30) Evalúe los
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La tasa de crecimiento promedio dur
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Deseamos tomar el límite cuando x
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DEMOSTRACIÓN a) En la función y
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Si n es un entero positivo, a n b
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59. (Móvil) La distancia recorrida
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El costo marginal mide la tasa con
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Ingreso y utilidad marginales Ahora
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La utilidad marginal es la derivada
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La razón S/I representa la fracci
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y 2 1 (2, 1) (4, 3) 1 y 0 1 2 3 4 x
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Recordemos la definición de contin
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☛ 25. (Más difícil) Utilizando
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42. (Función de costo de la electr
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t E(t) 6000 5 0 , para 1 t 50
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12-1 DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIE
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☛ 3. Utilice la regla del cocient
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Solución C(x) 0.003x 2 0.6x 40
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(x 31. f (x) 2 1)(2x 3) (t 3)(3
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de la función es la quinta potenci
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Para determinar du/dx escribimos u
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Sustituyendo x 5, el nivel de prod
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vertido K en planta y maquinaria. S
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Pero usando una propiedad básica d
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Por tanto, cuando se gastan $3000 e
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☛ 15. Derive a) y ln [(x 1) 2 ]
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55. y a x 56. y 3 x2 1 57. y log
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mecánica establece que cuando una
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C' (x) 17.5 10 0 50 100 150 x EJEMP
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Regla de cadena: Tasas relacionada
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CASO DE ESTUDIO PROPENSIÓN MARGINA
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CAPÍTULO 13 Optimización y bosque
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y y y f(x) y f(x) y y y y y y 0
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TABLA 1 ☛ 2. ¿Para qué valores
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31. (Análisis del ingreso marginal
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☛ 4. Proporcione los valores de x
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4 5 x3 (x 1) 1/5 [5(x 1) x] 4
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f existe para toda x, así los punt
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x 11. 2 12. x 2/3 x 1/3 33. f(x)
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☛ 9. Determine los intervalos en
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4000 C(x) 1 (150, 3162 ) 2 (100, 28
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Prueba de la segunda derivada En la
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☛ 13. Para cada una de las siguie
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☛ 14. Determine los intervalos en
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En consecuencia, la gráfica es cre
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EJERCICIOS 13-4 (1-12) Bosqueje las
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La solución de problemas de optimi
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Una de las aplicaciones más import
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☛ 19. Determine el valor de x que
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La utilidad máxima es P máx (20
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da vez, los costos de almacenamient
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31. (Modelo de costo de inventarios
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13-6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
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La tapa cuesta (r 2 )(300) dólares
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11. f(x) x ln x; e 1 x e 12. f(
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TABLA 8 x 1 10 100 1000 10,000 f(x
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Solución a) Tenemos que Por la reg
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☛ 28. Para la función 1 y , det
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a cero a través de valores positiv
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EJERCICIOS 13-7 (1-36) Evalúe, si
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Punto de inflexión. Prueba de la s
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Determine la tasa de producción x
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CASO DE ESTUDIO OPTIMIZACIÓN DE CO
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CAPÍTULO 14 Más sobre derivadas C
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EJEMPLO 2 Si y x 3 3x, determine
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☛ 3. Haciendo elecciones apropiad
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☛ 6. Vuelva a resolver el ejemplo
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Al usar esta técnica, derivamos ca
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La ecuación de la línea tangente
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☛ 11. Determine los puntos en la
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35. ln (yz) y z 36. xe y ye x 1
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EJEMPLO 3 Calcule dy/dx si y (x 2
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p x dx pf(p) dp f(p) Antes de
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La idea de elasticidad puede aplica
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e las relaciones de demanda siguien
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para los cuales la demanda es a) el
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Por otro lado, considere los siguie
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15-1 ANTIDERIVADAS ☛ 1. a) ¿Cuá
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Así, si se quiere integrar cualqui
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Precaución Las variables no pueden
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☛ 7. Determine la función de cos
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67. (Costo marginal) La función de
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☛ 8. Establezca los resultados qu
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Se sigue que 2x 3 dx u 1 2 du
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4x 1 18. dx 2x2 x 1 19. xx 2
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☛ 11. Utilice la tabla para encon
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☛ 13. Utilice una sustitución y
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Solución Elijamos f(x) x y g(x)
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☛ 16. Determine x 3 e x2 dx [Sug
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Integración por partes: f(x)g(x)
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2x) 1/2 . Determine la productivida
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U′(34.15) 0 A la izquierda de es
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16-1 ÁREAS BAJO CURVAS En esta sec
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y y f (x ) A 0 a b x FIGURA 1 a x
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☛ 5. La función de ingreso margi
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y asimismo a b f(x) dx F(x) a b
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(1-26) Evalúe las siguientes integ
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F(a), o bien, b a g(x) dx [F(b) F
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☛ 8. Determine el área entre el
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y 0 2 1 1 2 x 2 y x 2 8 4 6 y x
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☛ 12. Haga un bosquejo del área
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13. y e x , y x 2 ; x 0, x 1 14
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L 2 1 x 1 5 1 x 2 x 0 16 1
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Maximización de la utilidad con re
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con este método, el valor presente
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p SC Curva de oferta p 0 SP Curva d
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espectivamente, en donde el tiempo
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Si f(x) 0 en el intervalo [a, b],
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fórmula T(t) 13 3t 1 3 6 t 2
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Es intuitivamente claro que tendrem
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TABLA 2 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3
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x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 b) La r
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DEFINICIÓN Se dice que una funció
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espondiendo a 1900. Suponga que est
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A A(t t) - A(t) rA(t) t en donde
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17. dy/dt 2y 0; y 1 cuando t 1
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podemos utilizar este método en ve
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te restringido, pero se han encontr
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ya que se da p k/m 0.25/m. Separa
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tinuos de un intervalo dado. Por ej
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1 y y f (x) 1 y (2x 3) 4 y f (x
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ya que e d/200 → 0 cuando d → q
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y y f (x ) x FIGURA 28 la curva c
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23. (Distribución uniforme) El pes
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2. Demuestre que ab 1 dt b 1 22.
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CASO DE ESTUDIO UN PROBLEMA DE INVE
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CAPÍTULO 17 Funciones de varias va
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☛ 1. Si f(x, y) ln (x y) x y
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D {(x, y, z)⏐x 2 y 2 9, x z
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☛ 4. Dibuje curvas de nivel para
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☛ 5. Para la función z x 2 - xy
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3. f(x, t) x t 1 x 2 ; (x, t)
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z f(x x, y) f(x, y) lím x x
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No necesitamos aplicar la fórmula
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☛ 8. Calcule z x , z xx y z xxy p
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46. (Microbiología) En el proceso
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las productividades marginales son
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☛ 12. Dos productos A y B tienen
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☛ 14. El ingreso, R, de una compa
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17-4 OPTIMIZACIÓN En el capítulo
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☛ 16. Sea f(x, y) (x y) 2 2(x
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Resolviendo estas dos ecuaciones, o
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por encima de 10°C y x es la canti
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Un método alternativo (que evita t
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Solución a) Aquí la función a ma
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☛ 20. Vuelva a resolver el ejempl
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19. (Inversiones) Una inversión de
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caigan sobre la línea recta, la l
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☛ 21. Determine la ecuación para
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TABLA 6 Precio (p) 2 2.25 2.50 2.75
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z f(x, y y) f(x, y) lím y y
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la producción de una empresa está
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CASO DE ESTUDIO DECISIÓN SOBRE PRO
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APÉNDICE I Tabla de derivadas est
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x2 1 2 11. dx (ax b) 2 a 3 a
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Integrales que contienen x 2 a 2
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Integrales diversas 1 1 79. dx
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TABLA A.3.1 Logaritmos comunes con
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TABLA A.3.2 Logaritmos naturales (c
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TABLA A.3.3 Funciones exponenciales
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TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
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TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
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Soluciones a problemas con número
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51. 125 minutos 23. u 1, v 3, w 5
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7. x 2 9. 1 2 3 x 2 4 11.
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f) Falso. Si A es una matriz de n
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27. 3 x2 4 2x3/2 29. 5p 4 6p 2
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0.4 0.2 33. 3 3 4 pulgadas 3 3 4 p
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19. 1 9 x 2 8x 1 21. y′ x
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i) Falso; si todas las derivadas pa
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Bebidas y conducción de automóvil
Page 825 and 826:
Determinante(s), 380 definición de
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decreciente, 530-534, 541, 551-555
Page 829 and 830:
Mano de obra, 743, 769 utilización
Page 831 and 832:
Programación lineal, 399-440 costo
Page 833:
maximización de la, con respecto a
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