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Con el propósito de que una expresión algebraica tenga sentido, se dará por
hecho que la variable o variables no tomen valores que hagan que el denominador
de la fracción sea cero. Así, en la fracción de la izquierda, x 3 , 2 pues si x 3 , 2
2x 3 2( 3 )
2
3 3 3 0, y el denominador sería cero. De manera similar,
en la fracción de la derecha, y x.
En esta sección, estudiaremos métodos para simplificar fracciones algebraicas
y examinaremos la adición, sustracción, multiplicación y división de dos o más de
tales fracciones. La factorización desempeña un papel importante en tales operaciones,
como se aclarará en los ejemplos siguientes. Los principios básicos involucrados
son los mismos que se describieron cuando se simplificaron fracciones en la
sección 1-2.
Simplificación de fracciones
EJEMPLO 1 Simplifique 4 x 2 20x
24
6
10x
4x2
Solución En primer lugar, factorizamos por completo las expresiones que aparecen
en el numerador y en el denominador. En este caso, tenemos
y asimismo
4x 2 20x 24 4(x 2 5x 6) 2 2(x 2)(x 3)
6 10x 4x 2 2(2x 2 5x 3) 2(2x 1)(x 3)
Note que al factorizar el denominador, primero hicimos que el coeficiente de x 2 fuera
positivo, de modo que los términos en x sean positivos tanto en el numerador como
en el denominador. Por tanto,
4 x 2 20x
24
6
10x
4x2
2 2(x 2)(x 3)
2(2x 1)(x 3)
2(x 2)
(2x 1)
2(x 2)
2x 1
☛ 33. Simplifique 2 x2
4x
2
x2
4x
3
Indique cualesquiera valores de x
en los que la fracción dada no sea
igual a su respuesta.
Respuesta 2( x 1)
, x 1
x 3
Observe que hemos dividido el numerador y el denominador entre los factores 2 y
x 3, los cuales aparecen tanto en el numerador como en el denominador. Esta cancelación
de factores se justificó en la sección 1-2 (véase la página 10 y el teorema
5). Puede hacerse para factores binomiales como (x 3) en este ejemplo así como
para factores que son monomios. (Tales factores siempre deber ser diferentes de cero;
de otra forma, la fracción original no estaría bien definida). ☛ 33
Algunas veces encontraremos fracciones que contienen radicales en el denominador,
tales como
2
x
y
3 2 x 2 2
En la primera fracción sólo intervienen números, mientras que la segunda es algebraica.
En tales casos, dado que el denominador sólo tiene dos términos, podemos
simplificar la fracción por medio de una operación llamada racionalización del
SECCIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS 47