matematicas-aplicadas-a-la-administracion-airya-5edi

TABLA 1
t
s/t
0.5 0.25 0.1 0.01 0.001
104 100 97.6 96.16 96.016
A partir de los valores de la tabla 1 es claro que a medida que t se hace más y más
pequeño, la velocidad promedio se acerca cada vez más a 96 pies/segundo. Es razonable
concluir en consecuencia que 96 pies/segundo es la velocidad instantánea
en t 3.
Este ejemplo es característico de una clase completa de problemas en que
necesitamos examinar el comportamiento de cierta función a medida que su argumento
se acerca cada vez más a un valor particular.* En este caso, nos interesa el
comportamiento de la velocidad promedio s/t cuando t se acerca a cero. En general,
puede interesarnos el comportamiento de una función f(x) de una variable x
cuando x se aproxima a un valor particular, digamos c. Debe entenderse que x toma
una sucesión de valores que están arbitrariamente cerca del valor c, si bien x nunca
puede ser igual a c. (Obsérvese que la velocidad promedio s/t no está definida
si t 0. Sólo podemos considerar un pequeño, muy pequeño valor de t, pero
nunca un valor cero). Mediante x → c indicaremos que x se aproxima a c; por ejemplo,
escribiríamos t → 0 en el ejemplo anterior.
Examinemos lo que sucede con la función f(x) 2x 3 cuando x → 1. Permitiremos
de que x tome la sucesión de valores 0.8, 0.9, 0.99, 0.999 y 0.9999, que
sin duda se acercan cada vez más a 1. Los valores correspondientes de f(x) están dados
en la tabla 2.
TABLA 2
x
f(x)
0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999
4.6 4.8 4.98 4.998 4.9998
A partir de esta tabla es claro que a medida que x se acerca a 1, f(x) está cada
vez más cerca de 5. Escribimos entonces f(x) → 5 cuando x → 1.
Los valores de x considerados en la tabla 2 son menores que 1. En tal caso,
decimos que x se aproxima a 1 por abajo. Podemos considerar también el caso alternativo
en que x se aproxima a 1 por arriba; es decir, x toma una sucesión de valores
que están cada vez más cerca de 1 pero siempre son mayores que 1. Por ejemplo,
podríamos permitir que x tomara la sucesión de valores 1.5, 1.1, 1.01, 1.001 y
1.0001. Los valores correspondientes de f(x) están dados en la tabla 3.
TABLA 3
x
f(x)
1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001
6 5.2 5.02 5.002 5.0002
*El término argumento se definió en la página 174.
SECCIÓN 11-2 LÍMITES 451