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Para y f(x): d y
f′(x) lím
dx
x→0 f(x x) f(x)
x
Fórmula para la potencia: Si y x n d y
nx n1
dx
Teoremas de diferenciación:
d
(cu) c d u
, en donde c es una constante.
d x dx
d
(u ) d u
d
d x dx
dx
P(x) R(x) C(x), P′(x) R′(x) C′(x)
PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 11
1. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes
proposiciones. Cada enunciado falso cámbielo
por una proposición verdadera correspondiente.
a) Si el límite de una función existe en un punto, entonces
la función debe estar definida en ese punto.
b) Una función f(x) es continua en x a si, y sólo si, lím
x→a
f(x) f(a)
c) Si una función tiene derivada en un punto, entonces, en
ese punto la función está definida.
d) La derivada de un producto de funciones es igual al
producto de las derivadas.
e) Si f(x) ⏐x⏐, entonces f ′(0) 0
f) Si y es una función de x, entonces el valor de y (el incremento
de y) debe ser positivo.
g) El significado de lím f(x) A es que f(x) está cerca
x→a
de A cuando x se aproxima a a por la izquierda.
h) Si lím
x→a
f(x) existe, entonces lím f(x) también existe.
x→a
i) Si una función es continua en un punto, entonces es diferenciable
en ese punto.
j) Si una función es diferenciable en un punto, entonces es
continua en ese punto.
k) Si la función f(x) no está definida en x c, entonces no
existe lím f(x)
x→c
l) lím x
x→0 x 1
m) lím
⏐x ⏐
1
x→0 x
2. Determine y cuando y 2 x y x 1
3. Determine y cuando x 1 y x 0.2, en el caso en que
y x 2 2x 5
4. (Función de costo) Para la función de costo C(x)
2500 8x, determine el incremento en el costo cuando la
producción se incrementa de 50 a 55 unidades. Calcule el
costo promedio por unidad adicional.
5. (Función de costo) Para la función de costo C(x)
2000 5x 0.02x 2 , determine el incremento en el costo
cuando la producción se incrementa de 50 a 55 unidades.
Calcule el costo promedio por unidad adicional.
6. (Caída libre) En el caso de un objeto que cae bajo la acción
de la gravedad, calcule la velocidad promedio entre
t 5 y t 6 segundos. (t 0 es el instante en que se suelta
el objeto).
(7-20) Evalúe los siguientes límites.
7. lím x
3
x→3 x 3
9. lím ⏐x 1⏐
x→1 x 1
8. lím x 2
1
x→1 1 x
x 2
4
10. lím
x→2 x
2
x 6
11. lím
x 3
1
x 4 – 3
x→1 x2
12. lím
1
x→5 x 5
x h x
13. lím
14. lím
h→0
h→0 (x h ) 3 x
3
h h
15. lím x2 x 132
x→12 x 12
16. lím x 2
8x
12
x→6 x2
x 30
17. lím
x→5 x 2
8x
12
2x 1 7
x2
*18. lím
x 30
x→24 x 1 5
x a
1 3x– 5
19. lím 20. lím
x→a x a x→2 x 2
(21-24) Calcule las derivadas de las funciones siguientes, usando
la definición de la derivada como un límite.
21. f(x) (x 1) 1/2 22. f(x) (x 1) 1/2
23. f(x) (x 1) 2 24. f(x) (x 1) 2 (x 2)
(25-36) Calcule las derivadas de las funciones siguientes con
respecto al argumento dado.
25. x 2 x 26. x e2
(x 2)(x 2)
27. *28.
x
(x 2 4)(x 2)
3
x
2
492 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA