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f existe para toda x, así los puntos críticos están dados por f(x) 0. Esto es,
4x 2 (x – 3) 0, o x 0 y x 3. Estos puntos críticos dividen la recta real en los tres
intervalos (q, 0), (0, 3) y (3, q). Como de costumbre, determinamos el signo de f
en cada intervalo eligiendo un punto de prueba. Los resultados están en la tabla 2.
TABLA 2
Intervalo (q, 0) (0, 3) (3, q)
Punto de prueba 1 1 4
f(x) 4x 2 (x – 3) 4(1) 2 (1 – 3) 4(1) 2 (1 – 3) 4(4) 2 (4 – 3)
16 0 8 0 64 0
f Decreciente Decreciente Creciente
En x 0, f es negativa en ambos lados, de modo que x 0 no es un extremo
local. Para x 3, f es negativa a la izquierda (f es decreciente) y positiva a la
derecha (f es creciente). Por tanto, por la parte b) del teorema 1, x 3 es un mínimo
local de f.
EJEMPLO 5 Determine los máximos y mínimos locales de la función f(x) x 2/3
(x – 5).
Solución Primero encontramos los puntos críticos. Con base en la regla del producto
tenemos
f(x) 2 3 x1/3 (x 5) x 2/3 1 5 3 x1/3 (x 2)
f0 cuando x 2 y f está indefinida cuando x 0. Así existen dos puntos críticos;
a saber, x 0 y x 2. Estos puntos dividen la recta real en los tres intervalos,
(q, 0), (0, 2) y (2, q). Seleccionando un punto de prueba, como de costumbre, en
cada uno de estos intervalos, obtenemos los resultados que se muestran en la tabla 3.
TABLA 3
Intervalo (q, 0) (0, 2) (2, q)
Punto de prueba 1 1 8
f(x) 5 3 x1/3 (x 2) 5 3 (1)1/3 (3) 5 0 5 3 (1)1/3 (1) 5 3 0 5 3 (8)1/3 (6) 5 0
f Creciente Decreciente Creciente
Así, justo antes de x 0, f es positiva, mientras que justo después de x 0
es negativa. Por tanto, por la parte a) del teorema 1, x 0 es un máximo local de f.
Justo antes de x 2, f es negativa, mientras que justo después de x 2 es positiva.
Por tanto, por la parte b) del teorema 1, x 2 es un mínimo local de f.
EJEMPLO 6 Determine los máximos y mínimos locales de la función f(x) x 4 /
(x – 1).
Solución Primero encontramos los puntos críticos. De la regla del cociente tenemos
(x 1) 4x
f(x) 3 x 4 1
x3 (3x 4)
(x 1) 2 (x 1)
2
SECCIÓN 13-2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 541