4. Series, Taylor y límites indeterminados

El R se podrá calcular casi siempre mediante el criterio del cociente o la raíz.Por ejemplo, si en la serie aparecen todos los x n ( no si es del tipo ∑a n x 2n ó ∑a n x 2n+1 )se tiene que: R = lím n→∞|a n ||a n+1 | = lím n→∞1n√|an |, si dichos límites existen o son infinito, pues[]|a|x|> lím n |n→∞ |a n+1 |.|alím n+1 ||x| n+1|an→∞ |a n ||x|= |x| n lím n+1 ||an→∞ |a n |< 1 [>1] ⇔ |x|< lím n |n→∞ |a n+1 |[Cálculos parecidos con la raíz)].Para ver lo que pasa en los extremos del intervalo (si es finito) habrá que utilizar los otroscriterios conocidos (comparaciones, convergencia absoluta, Leibniz...) pues ya habremos sacadotodo su jugo al cociente o la raíz.Ej.Ej.Ej.Ej.Ej.Ej.Ej.∞∑n=0x 5n+1(n − 2)! . Cociente: |x| 5n+6(n−1)!(n−2)!= |x|5|x| 5n+1 n−1 −→ 0 ∀x ⇒ converge ∀x , es decir, R=∞ .n→∞[No podíamos aplicar las fórmulas para R y por eso usamos directamente el cociente.La raíz no era adecuada por la presencia del factorial].∞∑ n n x n 1. n√ = 1n=0|an | n −→n→∞0=R : la serie sólo converge si x=0 (y podemos tirarla a la basura).[El cociente es aquí bastante más complicado].∞ [−9]∑n2n+1 x2n 9. límn+1 |x| 2n+2 2n+1n=0n→∞ 2n+3 9 n |x| 2n = 9|x| 2 1 n y ∑ 1 ndiverge. Converge si x∈[−1,1) .[Sin L’Hôpital: converge si |x|1 es logn≪|x| n ) y diverge ] .∞∑ cos nπ 6 xn . No valen cociente ni raíz. Buscamos directamente el intervalo de convergencia.n=0|cos nπ 6 ||x|n ≤ |x| n ⇒ si x∈(−1,1) converge. Si |x| ≥ 1 el término general no tiende a 0 .∞∑ √ 2nn=0 n 3 +1 (x+1)n . Podríamos hacer x+1=s , pero estudiamos la convergencia directamente.√Cociente: 2n+1 |x+1| n+1 n 3 +1√2 n |x+1| n −→ 2|x+1| ⇒ converge si |x+1|< 1 (n+1) 3 +1 n→∞ 2 ⇔ − 2 3 < x < − 1 2[ ] .Y diverge si |x+1|>12. En los extremos:Si x=− 1 2, nos queda ∑1 √n 3 +1 que converge ( se comporta como ∑ 1n 3/2 ).Si x=− 3 2 , ∑ (−1)n √n 3 +1absolutamente convergente (o converge por Leibniz).-3/2 -1 -1/270