4. Series, Taylor y límites indeterminados

De las series de Taylor anteriores podemos deducir muchísimas otras, sin más que sustituira veces y utilizando otras las operaciones conocidas con series de potencias (muchas veces nopodremos dar la expresión del término general de la serie):Ej. Para escribir el desarrollo de sen(3x 2 ) basta cambiar x por (3x 2 ) en el de senx :sen3x 2 = 3x 2 − 9 2 x6 + ··· + (−1) n 32n+1(2n+1)! x4n+2 + ··· , ∀xEj. Para el sen(1+x) no podemos hacer lo mismo. Aunque es cierto para todo x que:sen(1+x) = (1+x) − 1 6 (1+x)3 + ··· + (−1)n(2n+1)! (1+x)2n+1 + ···esto no nos permite escribir la serie como potencias crecientes de x . Mejor que derivando:sen(1+x) = sen1cosx + cos1senx = sen1 + cos1 x − sen12 x2 − cos16 x3 + ···Ej. cos √ x = 1 − x 2 + 1 24 x2 − ··· , si x≥0 . [ Esta serie representa la función ch √ −x para x≤0 ] .Ej. arctan2x √ 1+x 2 = [ 2x− 8 3 x3 + 325 x5 + ···][ 1+ 1 2 x2 − 1 8 x4 + ···]=2x− 5 3 x3 + 28960 x5 +··· , |x|< 1 2pues si |2x|