4. Series, Taylor y límites indeterminados

Series de términos cualesquiera.Consideremos primero la serie, de términos positivos, de los valores absolutos ∑|a n | .Teorema: ∑|a n | es convergente ⇒ ∑a n es convergente. [La implicación ⇐ es falsa].0 ≤ a n +|a n | ≤ 2|a n | , ∑|a n | converge ⇒ ∑[a n +|a n |] converge (criterio decomparación por desigualdades) ⇒ ∑[a n +|a n |] − ∑|a n | = ∑a n converge.⇐ es falsa: pronto veremos series ∑a n convergentes pero tales que ∑|a n | diverge.Diremos que ∑a n es absolutamente convergente si ∑|a n | es convergente (el teoremaanterior afirma que absolutamente convergente ⇒ convergente). Diremos que∑a n es condicionalmente convergente si converge, pero no absolutamente.Ej. ∑ (−1)n+1n 2 + 1converge absolutamente (y por tanto converge) pues ∑1n 2 +1 converge ( ∼ 1 n 2 ).Ej. ∑ cosn3 n . ∑ |cosn|3 n ≤ ∑ ( 13) ngeométrica convergente ⇒ ∑|an | converge ⇒ ∑a n converge.Ej. ∑ cosnnEj.. De ∑ |cosn|nno sacamos nada ( ≤ ∑ 1 n divergente) . No sabremos decir si converge.[De hecho, aunque es largo de probar y se utilizan criterios que nostros no estudiamos, es convergente.Aunque eso no sea ninguna prueba, se puede ir al ordenador y sumar, por ejemplo, 1.000, 10.000 y100.000 términos. Se obtiene: S 1000 ≈ 0.0431, S 10000 ≈ 0.0419, S 100000 ≈ 0.0420 . Parece converger].∞ (−1)∑n+1nn=1Criterio de Leibniz:=1− 1 2 +1 3 −··· no converge absolutamente ( pues ∑ 1 n diverge) , pero sí convergecondicionalmente (hacia log2 como se verá en 4.4) gracias a estecriterio para series alternadas ( + − + − + − ··· ):∞Si a n ≥ 0 es decreciente y a n → 0 entoncesn→∞∑ (−1) n+1 a n = a 1 − a 2 + a 3 − ···n=1converge. Además, el error absoluto |S−S N | ≤ a N+1 (primer término que se omite).Es fácil ver que por ser {a n } decreciente:S 2 ≤ S 4 ≤ ··· ≤ S 2n ≤ ··· ≤ S 2n+1 ≤ ··· ≤ S 3 ≤ S 1Como S 2n y S 2n+1 son monótonas y acotadas convergen2S4SS3(al mismo límite, pues S 2n+1 − S 2n = a 2n+1 → 0 ), con lo que la serie converge.Sea S su suma. Se ve que para todo n es S 2n ≤ S ≤ S 2n+1 . Además:SS 10 ≤ S − S 2n ≤ S 2n+1 − S 2n = a 2n+1 ; |S−S 2n |≤a 2n+10 ≤ S 2n−1 − S≤S 2n−1 −S 2n = a 2n ; |S−S 2n−1 |≤a 2n⇒ ∀N, par o impar, |S−S N |≤a N+1 .[Si la serie fuese ∑(−1) n a n =−a 1 +a 2 − ··· , el criterio y la cota del error absoluto serían iguales yuna suma parcial está a la derecha (izquierda) de S si lo último que hemos hecho es sumar (restar)].No olvidemos que esta cota tan sencilla del error sólo se tiene paraestas series de Leibniz. Para las de términos positivos convergenteslas sumas parciales S n se van acercando a la suma S formando unaS 1S2S3... ...S nsucesión creciente y el error S−S N es, por tanto, mayor que el siguiente término a N+1 ; el únicocriterio que nos ha dado cota del error es el integral (pero es aplicable a muy pocas series)].S63