4. Series, Taylor y límites indeterminados

Para estudiar la convergencia uniforme, como siempre en las definiciones con ε , hemos partidode lo que se quería hacer pequeño y avanzado mediante desigualdades hacia una expresión mássencilla. Ha sido esencial hacer desaparecer la x , pues el N buscado debía depender solo de ε .Podemos ahorrarnos las últimas cuentas con el sencillo teorema:Teorema:Si | f n (x)− f (x)| 0 . Por la convergencia uniforme, existe algún n tal que | f (y) − f n (y)| < ε 3 ∀y ∈ I .En particular, para todo h tal que x + h ∈ I , | f (x) − f n (x)| < ε 3 y | f (x + h) − f n(x + h)| < ε 3 .Como f n es continua en x existe δ > 0 tal que si |h| < δ entonces | f n (x + h) − f n (x)| < ε 3 .Por tanto, si |h| < δ entonces| f (x + h) − f (x)| ≤ | f (x + h) − f n (x + h)| + | f n (x + h) − f n (x)| + | f n (x) − f (x)| < ε .[Este teorema basta para probar que las f n del primer ejemplo no convergen uniformemente en[0,∞) , pues si la convergencia fuese uniforme, la f (x) debería ser continua].[Si las f n son derivables, que f n → f uniformementeno basta para que f sea derivable, o puede ser f derivabley no coincidir f ′ con el límite de las f n ′ (situaciones|x|sugeridas por los ejemplos de la derecha); para que secumplan ambas cosas además deben las f n ′ converger uniformemente].1–sen(n 2 n x)67