4. Series, Taylor y límites indeterminados

Series de términos positivos a n ≥0 [ o de términos negativos, pues ∑a n =−∑(−a n ) ] .Observemos que entonces las sumas parciales forman una sucesión creciente.Veamos varios criterios de convergencia. El primero exige saber algo de integrales y límites defunciones, pero lo necesitamos para tratar las importantes series ∑ 1 n. sSe define: ∫ ∞aCriterio integral:f (x)dx = límb→∞∫ baf (x)dx (si el límite existe; la integral se dice convergente).Sea f (x) función positiva y decreciente para x≥1 . Entonces la serie ∑∞ f (n) convergen=1⇔ ∫ ∞1 f (x)dx converge. El error está acotado por ∫ ∞k+1 f (x)dx ≤ S−S k ≤ ∫ ∞k f (x)dx .Este criterio, es de los pocos que dan cota del errorcometido al sustituir la suma S de la serie convergentepor la k-ésima suma parcial. No lo demostramos.Recordando el significado geométrico de la integral,es intuitivamente claro a partir del dibujo.∞1∑ n s converge si s>1 y diverge si s≤1n=1Si s≤0 , el término general no tiende a 0 y la serie diverge.f(x)1 2 3 4 k k+1 xSi s>0 , la función f (x) = x −s es positiva y decreciente y aplicamos el criterio anterior:si s≠1 , ∫ b1 x−s dx = 1−b1−s1−s; si s=1 , ∫ b1 x−1 dx = logb ;si b → ∞ , la primera integral converge para s>1 y → ∞ si 0