4. Series, Taylor y límites indeterminados

Discutamos el uso de la regla de L’Hôpital (presentada en 3.2) y comparemos con Taylor:Si f (x),g(x) → 0 ( ó → ±∞ ) fy existe el lím′ (x)f (x)x→a x→a x→a g ′ (x), entonces límx→a g(x) = lím f ′ (x)x→a g ′ (x) .La regla sigue siendo válida cambiando el a del enunciado por a + , a − , +∞ ó −∞ .[Taylor muestra porqué aparecen cocientes de derivadas en L’Hôpital, en el caso de que f y gadmitan desarrollo y tiendan a 0 cuando x → a (en ese caso debe ser f (a)=g(a)=0 ):f (x)g(x) = f (a)+ f ′ (a)(x−a)+ 2 1 f ′′ (a)(x−a) 2 +···g(a)+g ′ (a)(x−a)+ 2 1 g′′ (a)(x−a) 2 +··· = f ′ (a)+ 2 1 f ′′ (a)(x−a)+···g ′ (a)+ 2 1 g′′ (a)(x−a)+··· −→ f ′ (a)x→a g ′ (a) , si g′ (a)=0 ] .No dice L’Hôpital que siEj.( ∞∞) x lím x→∞ 2x + cosx ;f ′g ′ no tiene límite (finito o infinito), tampoco lo tenga f g :lím x→∞12 − senx1no tiene límite, pero es claro que límx→∞ 2 + cosx = 1x 2 .Muchas veces hay que iterar L’Hôpital. Es importante simplificar lo más posible en cada paso:(Ej. 00) x − tanxlím x→0 x − senx = lím cos 2 x − 1 0/0 1 + cosxx→0 (1 − cosx)cos 2 = − límx x→0 cos 2 = −2 (ya calculado por Taylor).x[Sin simplificar hubiéramos tenido que seguir con L’Hôpital pues la indeterminación seguía; perono nos lancemos a derivar sin comprobar que continúa el 0 0 ó ∞ ∞ , pues podríamos hacer burradas:1 + cosx−senxlímx→0 cos 2 = !!! = límxx→0 −2cosxsenx = lím 1x→0 2cosx = 1 ].2Para calcular un límite indeterminado, si conocemos los desarrollos de las funciones que aparecenen la expresión, suele ser preferible acudir a Taylor.Ej. Los límites de la página anterior se complican por L’Hôpital. Así para el ∞ − ∞ :2x+xarctanx−cos2xlog(1+2x) L’Hlímx→0 xlog(1+2x) = límx→02+arctanx+x2cos2x1+x2 +2sen2xlog(1+2x)− 1+2xlog(1+2x)+ 1+2x2xy hay que volver a usar l’Hôpital para deshacer la indeterminación y llegar al resultado. Más pasoshabría que dar todavía en el ejemplo del ch y sh : Taylor muestra que deberíamos derivar 4 veces(salvo que exista alguna simplificación intermedia) para llegar a un límite no indenterminado.L’Hôpital se puede aplicar en situaciones en que Taylor no es posible (si x → ±∞ , si noconocemos los polinomios o no existen,...). Por ejemplo, calculando unos límites importantes:Si a>0 , b>0 :x alímx→∞ e = 0 , bxlím (logx) a= 0 ,x→∞ x b lím logx] = 0 .x→0 +[xaEn los dos primeros (ya probados al final de 3.2), para x gordo ni logx , ni e ax se parecen aningún polinomio con lo que sólo se puede usar L’Hôpital (como hicimos).Para el tercero ( 0·[−∞] ) logx no admite desarrollo de Taylor en 0 . Así que también L’Hôpital:logxlímx→0 + x = ( )−∞1/xx −a ∞ = lím = alímx→0 + −ax−a−1 x→0 + −a = 0 .log(eEj. (0 · ∞) límx −1) ∞/∞ ex→0 +[xlog(ex −1)]= lím= x /(e x −1)0/0límx→0 + 1/x x→0 + −1/x 2e x −1[Insistimos en la necesidad de simplificar después de cada paso].xEl primer paso exigía L’Hôpital, pero en el segundo sí hubiera valido Taylor: 2e x −1 =Ej. ( ∞ 0) lím x→∞[logx] 1/x = límx→∞e log(logx)x= 1 , pues log(logx)xx 2= −1 · límx→0 += 0 02x= − límx→0 + e x = 0 .L’H−→ 1/xlogx −→ 0 [ este era ( ) ]∞x→∞ ∞ .x2x+o(x) → 0 .x→080