4. Series, Taylor y límites indeterminados

Normalmente hallaremos los polinomios para a = 0 . En ese caso no escribiremos las a de lossubíndices y las expresiones anteriores adoptan la forma (fórmula de McLaurin):Si f , f ’, ... , f (n+1) existen en [0,x] [ó [x,0] ] entonces para algún c∈(0,x) [ó c∈(x,0) ]f (x) = P n (x) + R n (x) = f (0) + f ′ (0)x+ f ′′ (0)2! x 2 + ···+ f (n) (0)n! x n + f (n+1) (c)(n+1)!x n+1Hallando las derivadas se obtienen fácilmente los siguientes polinomios y restos:e x = 1 + x + x22! + x3 xn3!+ ··· +n! + R n(x) con R n (x) = ec(n+1)! xn+1senx = x− x33! + x55! − x7x2n+17!+···+(−1)n(2n+1)! +R 2n+1(x) con R 2n+1 (x)= (−1)n+1 cosc(2n+3)!x 2n+3cosx = 1 − x22! + x44! − x6x2n6!+ ··· + (−1)n(2n)! + R 2n(x) con R 2n (x) = (−1)n+1 cosc(2n+2)!x 2n+2[Para senx , como la derivada sen (2n+2) (0) = (−1) n+1 sen0 = 0 , es P 2n+1 ≡ P 2n+2 ; poreso en su resto aparecen 2n+3 y no 2n+2 ; y algo muy parecido sucede con el cosx ].Dado un x , hay en los tres casos cotas fáciles para el resto en términos de cosas conocidas:para e x : si x > 0 , es |R n (x)| ≤ ex |x| n+1(n+1)!; si x < 0 , es |R n (x)| ≤ |x|n+1(n+1)! ;para senx , |R 2n+1 (x)| ≤ |x|2n+3(2n+3)!∀x ; para cosx , |R 2n (x)| ≤ |x|2n+2(2n+2)!∀x .Como probamos en 4.1, una sucesión de la forma |x| k /k!→0 ∀x cuando k → ∞ . Por tanto,podemos aproximar para cualquier x el valor de e x , senx y cosx con la precisión quequeramos utilizando un polinomio de Taylor con n suficientemente grande (aunque habráque tomar un n mayor cuanto más lejano de 0 esté el x ).El logx no está ni definido en x = 0 . Por eso lo que se desarrolla es el log(1+x) . Es fácil verque la derivada n-sima de esta función es [−1] n−1 (n−1)!(1+x) −n y por tantolog(1+x) = x − x22 + x33 − x4xn4+ ··· + [−1]n−1n + R n(x) con R n (x)= [−1]nn+1x n+1(1+c) n+1Se puede probar además (no con esta expresión del resto) que los polinomios del log(1+x)sólo aproximan a la función si −1 < x ≤ 1 .Ej. Calculemos con error menor que 10 −5 el sen1 .|R 2n+1 (x)| ≤ |x|2n+3(2n+3)!⇒ |R 2n+1 (1)| ≤ 1(2n+3)! < 110000si 2n+3≥9 ⇒sen1 ≈ 1 − 1 6 + 1120 − 15040 ≈ 0.84147 con error |R 7(1)| ≤ 1 9! < 10−5 .Ej. Si aproximamos sen2 con este mismo P 7 (x) el error será mayor:sen2 ≈ 2 − 8 6 + 32120 − 1285040 ≈ 0.9079 ; |R 7(2)| ≤ 299! = 42835 ≈ 0.0014 .(Estas cotas pronto serán más fáciles con las series de Taylor).n n! 2 n2 2 43 6 84 24 165 120 326 720 647 5040 1288 40320 2569 362880 51210 3628800 1024Ej. Hallemos ahora log 4 5 = log(1 − 1 5 ) con error < 10−3 .Como ∣ ∣R n (−5 1)∣ ∣ =111