4. Series, Taylor y límites indeterminados

Más ejercicios de límites en los que se mezclan algunos triviales, otros que utilizan resultadosde 2.2 del tipo “ 7 ∞=0” y otros cuantos indeterminados en los que utilizar Taylor o L’Hôpital:Ej. Hallemos, cuando existan, diferentes límites para la función f (x) = log(1+x)−xsenx−xlím f (x) = ( 0x→0 0 ) = lím x − x22 + x33 + o(x3 ) − xx→0 x − x36 + o(x3 ) − x[11+xo L’Hôpital: lím f (x) = lím− 1x→0 x→0 cosx − 1− 2x 1 = lím+ 1 3 + o(x3 )x 3= ±∞ si x → 0 ± .x→0 − 1 6 + o(x3 )x 30/0 −1/[1 + x]= 2lím= ±∞ si x → 0].±x→0 −senxlog(1+x)−∞x − 1lím f (x)= (x→∞ −∞, x manda) = límx→∞ senxx − 1 = 0+1log(1+x) (casi conocido;0+1=1 , pues → 0x o L’Hôpital).[ No se podía aplicar Taylor (lejos de x = 0 ), ni directamente L’H:1/[1+x]−1lím x→∞ cosx−1no existe ] .lím f (x) = −∞ ( “ −∞+1x→−1 + −sen1+1 ” y 1−sen1>0 ) , límite fácil que sabíamos calcular hace tiempo.log2−1lím f (x) =x→1 sen1−1(porque la función es ahí continua), el más fácil de todos.Ej. Hallemos el límite cuando x tiende a 0 , 1 e ∞ de f (x)= ex arctanx−x(1+3x) 1/3x 3 .Para 0 , primero escribimos los desarrollos de Taylor de las funciones del numerador:e x arctanx = [ 1 + x + 1 2 x2 +6 1x3 + ···][ x − 1 3 x3 + ···] = x + x 2 + ( 1 2 − 1 3 )x3 + ··· (si|x|