Notas sobre ecuaciones diferenciales. Aplicaciones a la Teoría del ...

Serie de EstudioInstituto de Economía y FinanzasFacultad de Ciencias EconómicasUniversidad Nacional de CórdobaArgentinaMarzo de 2003

Notas sobre ecuaciones diferenciales.Aplicaciones a la Teoría del Crecimiento Económico …Calcagno, Juan CarlosLicari, Juan ManuelPellegrini, Santiago ……Instituto de Economía y FinanzasFacultad de Ciencias EconómicasUniversidad Nacional de CórdobaResumen: El objetivo del presente ensayo es integrar principiosmatemáticos y económicos con comandos computacionales para resolverecuaciones diferenciales. Para cumplirlo, se realiza una revisiónteórica sobre el tema y ejercitaciones con un software adecuado. Apartir de este instrumental matemático e informático, se estudian enprofundidad dos aplicaciones relacionadas a la teoría del crecimientoeconómico: el modelo Harrod-Domar y el modelo de Solow.Palabras Clave: Ecuaciones diferenciales ordinarias - Modelo HarrodDomar - Modelo de Solow - Mathematica 4.0…La presente nota forma parte de una serie de trabajos de investigación a publicar comoresultado del Programa “Métodos Cuantitativos. Optimización Dinámica”.……Correo electrónico de los autores: calca@eco.unc.edu.ar; licarijm@eco.unc.edu.ar;sanpelle@eco.unc.edu.ar2

En caso de ser factible, es usual reordenar (1), despejando a la derivada demayor grado como función del resto de variables:n−11( y ,...,y ,y,t)ny = f(3)La derivada de mayor orden presente en una ecuación diferencial, define el orden dela misma. Así determinada, la ecuación general (1) se clasifica como una ecuacióndiferencial de orden n.A su vez, las ecuaciones diferenciales ordinarias pueden agruparse enlineales y no lineales. Si (1) puede expresarse en la forma:a n n−11n (t)y + an− 1(t)y+ ... + a(t) 1 y + a(t) 0 y = g(t) (4)entonces dicha ecuación diferencial será lineal. En caso contrario la misma es nolineal. La definición de los coeficientes a i (t)genera una nueva clasificación paralas ecuaciones diferenciales lineales. Si cada coeficiente es independiente de lavariable t ( a (t) = a ), la ecuación es lineal con coeficientes constantes. Coniicoeficientes variables será si algún coeficiente depende de t.El análisis del segundo miembro de la expresión (4) permite unacategorización adicional. Si g (t) = 0, la ecuación diferencial es homogénea. En casocontrario, será no homogénea.Por último, si una ecuación diferencial como (1) no incorpora en sudefinición explícitamente a la variable t, la misma es autónoma 1 . La relaciónplanteada en (5) ejemplifica este caso.Fn n 1 1( y ,y ,...,y ,y) = 0−(5)1.2. Ecuaciones diferenciales. Su soluciónSolucionar una ecuación diferencial implica encontrar una relación entre t yla variable y, de manera tal que la ecuación original sea satisfecha. Ello implicahallar:Tal que:y = φ(t)(6)Donde:Fn n 1 1( φ(t), φ(t),..., φ(t), φ(t),t ) = 0−(7)ii ∂ φ(t)φ (t) = ∀i= 1,2,...,n(8)i∂t1Téngase en mente que si bien no aparece t en la formulación de (5), si están presentes lassucesivas derivadas de y respecto de t.4

Debe destacarse la importancia de interpretar la solución presentada en (6). Apartir de una ecuación donde aparecen dos variables y las sucesivas derivadas de unarespecto de la otra; solucionar la misma implica encontrar una relación entre lasdos variables originales. En otras palabras, se busca eliminar las derivadas yrelacionar sólo las variables del problema. Si en un caso particular t representa eltiempo, resolver (1) sería encontrar una solución (6), que refleje la trayectoria dey en t.La expresión planteada en (6) supone la posibilidad de relacionar a lasvariables de manera explícita. En muchos casos, sólo es factible hallar solucionesimplícitas como:ω ( t,y) = 0(9)Por otra parte, si la solución encontrada en (6) surge de resolver (1), sincondiciones adicionales, la expresión es conocida como solución general. En suformulación, aparecerán una serie de constantes o parámetros, siendo su cantidadigual al orden de la ecuación diferencial en cuestión. En aquellos casos dondeexista un conjunto de condiciones iniciales al que se sujeta el problema, loscoeficientes o parámetros tomarán valores particulares, de acuerdo a las condicionespertinentes.1.3. Ecuaciones diferenciales. Análisis cualitativoLa obtención de la solución analítica de una ecuación diferencial resulta, enmuchas oportunidades, dificultosa e incluso imposible. Sin embargo, un análisis deltipo cualitativo puede aportar indicios sobre el comportamiento de la solución, aunsin conocerla.Una primera aproximación cualitativa a la solución resulta del estudio de losdenominados conjuntos dirección. Esta metodología es utilizada para el caso deecuaciones ordinarias de primer orden. Genéricamente:y ' = f[y,t](10)La intención es resolver (10), de manera tal que se obtenga la relación y = φ(t),planteada como la solución en (6). Debe estar presente que ésta debe satisfacer laecuación diferencial, por lo cual:y ' = φ(t')= f[y,t](11)Con un vector en la forma [ y0 ,t0]puede, según (10), encontrarse y’. Pero a su vez,por (11),y'= φ(t') . En otras palabras, aún sin conocer la solución explícita φ (t),puede encontrarse su derivada respecto de t, simplemente reemplazando al vector5

[ t0 ,y0]en la ecuación diferencial (10). Con desconocimiento de la forma analíticade la solución, puede estudiarse su comportamiento.yGráfico 1. Generación de φ ' oy 0La pendiente de estesegmento es φ ' ot 0tEn el gráfico 1 se presenta este análisis. Una vez elegido [ y0 ,t0], se procedea calcular y ' 0 utilizando (10). El valor y ' 0 , según ha sido demostrado, representarála pendiente de la solución para el punto que ha sido escogido arbitrariamente( φ ' 0). Un segmento con esta pendiente se ha dibujado en el punto.Repitiendo el proceso para diferentes vectores iniciales [ y,t], se obtendráuna serie de segmentos cuya pendiente es igual a la de la solución en el punto. Elconjunto de todos los segmentos es llamado conjunto dirección o conjunto tangente.yGráfico 2. Conjunto direccióny 1y 0y 2t 1 t 0 t 2 tLos diagramas de fase permiten también un análisis cualitativo. Ellos son unarepresentación gráfica de la dirección de cambio de la variable, en una ecuacióndiferencial de primer orden y autónoma. Se busca estudiar la presencia ycaracterización de soluciones estacionarias 2 , las cuales se encuentran cuando:y ' = 0(12)2La solución estacionaria suele denominarse también estado estacionario, punto estacionarioo simplemente equilibrio.6

Se resolverá por lo tanto:f [y] = 0(13)y se hallará el valor y* tal que f [y*] = 0.El paso siguiente es investigar el tipo de estado estacionario. Resultarelevante conocer si dicho equilibrio es o no estable. Si para valores menores a y*la variable tiende a aumentar y, simultáneamente, para valores mayores la variabletiende a disminuir el estado estacionario es estable. En cualquier otro caso, lasolución es inestable. El gráfico 3 muestra, con el sentido de las flechas, ladirección del movimiento de la variable y.y 3y 1Gráfico 3. Diagrama de fasey 2y 4yLos puntos y i , ∀ i = 1,2,3, 4 poseen la característica común de hacer y ' = 0. Sinembargo, de la observación del sentido de las flechas surgen claramente diferenciasentre ellos. Para y 1 , si la variable y se encuentra a su izquierda (con valoresmenores) la misma tiende a moverse hacia el estado estacionario. Pero si se parte deun valor mayor, la variable se aleja. Claramente el punto y 1 no es estable. Unanálisis similar le cabe a y 3 (considerando el sentido opuesto de las flechas eneste caso). El valor de estado estacionario y 4 es alcanzado sólo si se parte dedicho punto. Si la variable se ubica a su izquierda (derecha) tiende a disminuir(aumentar), alejándose del equilibrio, siendo un estado estacionario inestable. Porúltimo, situados en el entorno de y 2 , a su izquierda (derecha), y tiende a aumentar(disminuir), estableciendo un estado estacionario estable.Al trabajar con ecuaciones diferenciales de primer orden y autónomas, ademásdel diagrama de fase, el estudio gráfico de la relación y ' = f[y]proporciona graninformación. Supongamos que dicha función se comporta de acuerdo a lo expuesto en elgráfico 4.Gráfico 4. Representación de y ' = f[y]y’CD0BEyAF7

Los puntos B y E son equilibrios de estado estacionario, puesto que y ' = 0. A laizquierda de B (en un punto como A), para valores de y menores al estadoestacionario, y ' < 0. La variable tiende a decrecer y a alejarse de y* B . A suderecha, en C, se observa que y ' > 0 lo que establece que y crece a lo largo deltiempo, separándose del valor de estado estacionario. El equilibrio y* B esinestable.Para el punto estacionario y* E , el comportamiento de y es diferente. A la izquierdade E (punto D) y ' > 0, lo que hace que la variable crezca acercándose al punto E.Para valores mayores que y* E , como es el caso del punto F, puede apreciarse quey '

ny (t) = c1 y(t) 1 + c2y(t)2 + ... + cny(t)n = ∑ ciy(ti ) (15)i=1Las n soluciones linealmente independientes (y i ) tendrán la forma y = φ(t). Una vezreemplazadas en (14), la ecuación debe verificarse.Es válido cuestionar la posibilidad de comprobar la independencia de las mismas.Para ello, se genera un determinante W (Wronskian) a partir de las n funciones y i yde sus sucesivas derivadas respecto de t y luego se comprueba el signo del mismo.W[y1,y,...,y2 n]Concentrados en el signo de W:y1y2K yny' 1 y' 2 K yn'= (16)M M O Mn n ny1y2K ynW≠0⇒Lassolucionesson LIW=0⇒Lassolucionesson LDUna vez definidos estos conceptos, es momento de buscar la solución de (14).Supongamos la presencia de una solución en la formay =rte. Esta expresión, sirealmente resuelve la ecuación diferencial, debe verificarla. Reemplazando en (14):n rt n−1rt rt∂ (e ) ∂ (e )∂(e) rtan + an1 ... a1a0en −+ ++n−1=∂t∂t∂tResolviendo las derivadas:0n rt n−1rt rt rtan r (e ) + an−1 r (e ) + ... + a1r(e ) + a0e=0Extrayendo e rtcomo factor común:n n−1[ a r + a r + ... + a r + a ] = 0rte n n−1 1 0Conociendo que la expresión e rtno asumirá el valor cero (puesto que se trata deuna potencia con base no nula), puede representarse el siguiente polinomio de gradon, en la variable r:n n−1P(r)= an r + an− 1 r + ... + a1r + a0= 0 (17)Los n valores que asuma r, como soluciones de (17), permitirán formar las nsoluciones de la ecuación diferencial (14). Simbolizando r i a cada solución delpolinomio, las n soluciones de la ecuación (y i ) resultarán:rty eii = ∀i= 1,2,...,n(18)Han sido halladas n soluciones para la ecuación diferencial lineal de orden ny con coeficientes constantes (14). Su forma funcional dependerá de los valores de rque resuelven la expresión (17). Los ceros del polinomio juegan un rol fundamental,puesto que generan las soluciones de la ecuación diferencial. Debe reconocerse que9

se busca encontrar un conjunto de n soluciones linealmente independientes, parautilizar el Principio de Superposición y hallar así la solución general de laecuación diferencial.Si el polinomio es de grado n, estará asegurada la presencia de n soluciones. Lasmismas pueden ser reales y diferentes, reales pero con alguna raíz repetida eincluso imaginarias. Cada caso plantea cuestiones particulares al momento de hallarsoluciones a (14) linealmente independientes.Comenzando con el caso más sencillo, el de n raíces reales y distintas quertsatisfacen P (r) = 0. Podrán hallarse n soluciones en la forma y ei= quereemplazadas en W, resulta:W[y1,y,...,y2 n]=rte1rtre11Mn rt 1r1erte2Krtre22 KM On rt 2r 2 e Krtenrr entnMn rntrne≠0i(19)Las n soluciones de la ecuación diferencial son linealmente independientes.Para visualizar esta afirmación, considérese el caso de una ecuación diferenciallineal de orden 2. El determinante W resultará:W=rte1rt1re 1t r + re erte2rt2re 2=[ r r ]W =2 2−21rt 1 rt 1 rt 2 rte r2e− e re 1i =te[ ]i1 r + r 2 1 r 1 + rr2e− r1e2Al ser W el producto de tres factores, asumirá el valor cero sólo si al menos uno det e r i+rellos es nulo. Los factores e ∧2son potencias con base no nula, lo queimposibilita que asuman el valor cero. Además, [ r ] 0r2 1 ≠− ya que se está analizandoel caso de raíces del polinomio reales y distintas. Queda claro entonces que W ≠ 0,lo cual permite afirmar que las solucionesiritey = son linealmente independientes.Utilizando el Principio de Superposición, la solución general para el caso den raíces reales y distintas resultará:nrt rt 2 rt n rt iy (t) = c1e+ 2 + + n = ∑1 c e ... c e cie (20)i=1En el segundo caso de análisis, el polinomio P (r) = 0 puede presentar raícesreales y repetidas. Supongamos que de las n soluciones, existe una raíz real r* quese repite un número k de veces (siendosurgirían de reemplazar r* en la relaciónr*t r*t r*t{ y ,y ,...,y } { e ,e ,..., }B = 1 2 k = ek ≤ n). Agrupando las k soluciones queiritey = surge:10

El conjunto B contiene k soluciones iguales, y por ende linealmente dependientes. Eldeterminante W será igual a cero y el Principio de Superposición no podrá usarsepara generar la solución general. Sin embargo, puede crearse el siguiente conjuntoalternativo:C=r*t r* t 2 r*t k−1r*t{ y ,y ,...,y } = { e ,t e ,t e ,...,t }1 2 keSe demuestra que el conjunto C contiene k soluciones a la ecuación diferencial (14)y que además, ellas son LI. Una vez encontradas las n soluciones LI, se formula lasolución general:n−kky(t)c rt j 1 r*tieicjt−∑ + ∑ ei=1 j=1= (21)En el Apéndice se comprueba este enunciado para el caso en que n = k = 2.La tercera y última posibilidad es la aparición de raíces imaginarias en elpolinomio P (r) = 0. Se supone que:r 1 = h + v i(22)r 2 = h − v i(23)son dos raíces complejas conjugadas que satisfacen el polinomio P (r) = 0. Lassoluciones:(h + vi)ty 1 e= (24)(h −vi)ty 2 e= (25)satisfacen la ecuación diferencial y permiten armar la solución general:(h + vi)t(h −vi)ty(t) = c1e+ c2e(26)Aunque (26) refleja la solución de la ecuación diferencial, la existencia de lacomponente imaginaria en su formulación no permite comprender el comportamiento de yrespecto de t de manera clara. Por ello, utilizando la fórmula de Euler, puedetransformarse la expresión (26) en otra que elimine la componente imaginaria. Sedemuestra que la solución general es:ht hty (t) k1 cos(vt)e + k2seno(vt)e= (27)siendo k1 = c1+ c2∧ k2= c1− c2.Ha concluido el desarrollo para ecuaciones lineales, de orden n, concoeficientes constantes y homogéneas. Resta establecer la solución para casos consimilares características, pero no homogéneas. La ecuación en términos generales sedefine como:a n n−11n y + an− 1 y + ... + a1y + a 0 y = g(t) (28)11

Se demuestra que para el caso de ecuaciones no homogéneas, la solución general estácompuesta por la suma de dos partes: una solución complementaria (y c ) y unaparticular (y p ). Algebraicamente:y(t)= yc (t) + yp(t)(29)La solución complementaria no es otra que la que se obtiene al suponer g (t) = 0 en(28). Es decir, es la relación encontrada para el caso homogéneo.nyc(t)= ∑ ciy(t) ii=1siendo W(y1,y2,...,yn)≠ 0(30)La solución particular debe encontrarse de manera diferente. Existen métodosalternativos que permiten acceder a esta solución. Uno de ellos es elconocido como Método de Coeficientes Indeterminados. Para el lectorinteresado en esta mecánica, sírvase revisar Huang y Crooke (1997).A manera de conclusión puede enunciarse que la solución general de unaecuación diferencial lineal, con coeficientes constantes, de orden n y no homogéneaviene dada por:y(t)n= yc(t)+ yp(t)= ∑ ciy(t) i +i=1yp(t);Las soluciones y i se generan a partir del polinomio:siendo W(y1,y2,...,yn)≠ 0(31)nP(r)= an r +n−1an−1 r + ... + a1r + a0=en la forma:0y i =ritedebiendo considerarse el tipo de raíz que surja, según lo expuesto anteriormente.2. Resolución utilizando Mathematica 4.0En esta sección se resolverán dos ecuaciones diferenciales utilizando elinstrumental proporcionado por el software Mathematica 4.0. Para cada una de ellasse procederá a encontrar la solución general, la complementaria y la particularenfatizando en su representación gráfica.2.1. Resolución del primer ejemploLa primera de las ecuaciones es lineal, de primer orden, no homogénea y concoeficientes constantes:2y '(t) − a y(t) = bt(32)12

El primer paso para la resolución con el software, es borrar de la memorialas variables e ingresar a (32).In[1]:= Clear@a, b, c, g, d, e, y, f, t, yo, yc, ypD;eq1 = y'@tD a *y@tD + b *t^2Out[2]= y ¢ @tD ==bt 2 +ay@tDPara el desarrollo posterior será conveniente redefinir (32) como:2y ' = (fy,t) = ay + bt(33)In[3]:= f@y_, t_D = b *t^2 + a *yOut[3]= bt 2 +ayEn este caso concreto también se determina la ecuación homogénea que surge de (32),es decir, cuando b = 0. Ello resulta relevante puesto que a posteriori se buscará lasolución complementaria.In[4]:= eq1c = yc'@tD a *yc@tDOut[4]= yc ¢ @tD ==ayc@tDPara hallar la solución general se utiliza el comando DSolve[]. El mismopermite resolver (32), sin explicitar condición inicial alguna.In[5]:= sol = DSolve@eq1, y@tD, tDOut[5]= ::y@tD fi - b H2 +2at+a2 t 2 La 3+ ª at C@1D>>In[6]:= y@t_D = y@tD . solOut[6]= :- b H2 +2at+a2 t 2 La 3+ ª at C@1D>Para aplicar la condición y(0) = yo, se siguen los siguientes pasos:In[7]:= eq2 = y@0D yoOut[7]= :- 2b +C@1D> ==yoa3 Reemplazando la constante por lo encontrado, en términos de yo, resulta:In[8]:= y@t_D = y@tD . C@1D fi Hyo +2 *baL SimplifyOut[8]= :- b H2 +2at+a2 t 2 La 3+ ª at J 2ba +yoN>Para comprobar que lo hallado es solución de (32), se procede a evaluar laecuación eq1 para y*(t), observando si la identidad se cumple.In[9]:= Evaluate@FullSimplify@eq1DDOut[9]= TrueEl próximo paso es encontrar la solución complementaria, yc(t).In[10]:= sol2 = DSolve@eq1c, yc@tD, tD FullSimplifyOut[10]= 88yc@tD fi ª at C@1D

In[11]:= yc@t_D = yc@tD . sol2Out[11]= 8ª at C@1DSe evalúa nuevamente la solución en la eq1c:In[13]:= Evaluate@FullSimplify@eq1cDDOut[13]= TruePara encontrar la integral particular, se valdrá de la relación entre lasolución general y la complementaria:y(t)=yc(t) +yp(t) ⇒yp(t) =y(t) −yc(t)In[14]:= yp@t_D = FullSimplify@y@tD -yc@tDDOut[14]= :-b H2 +atH2 +atLLa 3 >Los parámetros arbitrarios a, b, yo se valuarán de manera que se asegure laconvergencia (la integral complementaria se anula con t que tiende a infinito). Estose comprueba tomando límite a yc(t).In[15]:= tryc = Table@yc@tD . 8yo fi 1, b fi 2, a fi -2

yHtL32yHtL1yp HtL0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2t-1yc HtLPor último, se presenta el campo vectorial correspondiente a la funcióndefinida en (33), acompañada de la solución de (32). El estudio de los camposvectoriales es análogo al de los conjuntos dirección, con la salvedad de que en elprimer caso, en lugar de presentarse segmentos con pendiente igual a y’(t), segeneran vectores en la forma [1,y’(t)]. Resulta evidente que la inclinación de elloscoincide con la de los primeros.In[19]:= f@y_, t_D = f@y, tD . 8b fi 2, a fi -2

21.510.50.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5-12.2. Resolución del segundo ejemploA continuación, se resolverá una ecuación lineal, de tercer orden, nohomogénea y con coeficientes constantes.y ( 3)(t) + 3.5 y'('t) + 3.5y'(t) + y(t) = Seno(t) (34)In[24]:= Clear@t,y,yc,yg,ypDIn[25]:= eq3 = y'''@tD +3.5 *y''@tD +3.5 *y'@tD +y@tD Sin@tDeq3c = yc'''@tD +3.5 *yc''@tD +3.5 *yc'@tD +yc@tD 0Out[25]= y@tD +3.5y ¢ @tD +3.5y ¢¢ @tD +y H3L @tD == Sin@tDOut[26]= yc@tD +3.5yc ¢ @tD +3.5yc ¢¢ @tD +yc H3L @tD == 0En primer lugar se encontrará la solución complementaria.In[27]:= yc@t_D = yc@tD . DSolve@eq3c, yc@tD, tDOut[27]= 8ª -2.t C@1D + ª -1.t C@2D + ª -0.5t C@3D

donde Y es el ingreso de la economía, K y L los factores de producción capital ytrabajo respectivamente,v = K / Y y u = L/ Y. El modelo original supone al ahorroS como función proporcional del ingreso. La inversión I se representa por el cambioen el stock de capital y es proporcional al cambio del ingreso a lo largo deltiempo. Estas premisas básicas pueden modelarse a partir del siguiente conjunto deecuaciones:S = sY(35)I = K' = v Y'(36)En una situación de equilibrio, los recursos disponibles para incrementar elstock de capital, el ahorro, deben ser igual a la inversión. Utilizando lasdefiniciones (35) y (36) la condición de igualdad ahorro-inversión puederepresentarse como:v Y' =sYsY ' − Y = 0(37)vLogrando así una ecuación diferencial de primer orden, lineal, con coeficientesconstantes, autónoma y homogénea. Utilizando el software Mathematica 4.0, susolución será:In[1]:= eq1 = y'@tD - HHs vL *y@tDLOut[1]= - sy@tDv+y ¢ @tDIn[2]:= a = DSolve@8eq1 0, y@0D yo>sty ( t) = y × ν 0 e(38)Gráficamente, la trayectoria del ingreso puede representarse asumiendovalores para los parámetros. El gráfico 5 contiene la mencionada senda y su campovectorial, considerando s = 0.1 ∧ v = 0. 8 y los siguientes valores iniciales delingreso Y 0 = 0.1,1,2, 3.In[3]:= y@t_D = y@tD . a;g@t_D = y@tD . 8yo fi 1, s fi 0.1, v fi 0.8

In[10]:= k@t_D = y@tD . 8yo fi 0.1, s fi 0.1, v fi 0.8

Table 9. Cultural Values and the Role of Religion for Women’s Employment Decisions(1) (2) (3) (4) (5)Female LFP in Home Country 0.270** 0.280** 0.281** 0.456*** 0.447***(0.117) (0.116) (0.119) (0.147) (0.149)Muslim -0.241*** -0.187*** -0.087* -0.134** -0.056(0.042) (0.042) (0.048) (0.060) (0.054)Orthodox Christian 0.047 0.065 0.043 -0.055 -0.058(0.049) (0.042) (0.044) (0.053) (0.053)Buddhist -0.044 0.003 0.077 0.026 0.018(0.041) (0.050) (0.057) (0.070) (0.071)Hindu -0.101 -0.083 0.003 -0.034 -0.043(0.170) (0.157) (0.144) (0.114) (0.113)Partner: Muslim -0.095***(0.037)Full set of controls NO YES YES YES YESControls husband’s variables NO NO NO YES YESObservations 5254 5131 5131 2436 2436Pseudo R-squared 0.057 0.093 0.156 0.121 0.122Notes: The Table reports marginal effects of Probit estimates (evaluated at the mean values of the explanatory variablesin the sample). Standard errors (corrected for heteroskedasticity and robust to clusters at the country of origin level) arereported in parentheses. The symbols ***, **, * indicate that coefficients are statistically significant, respectively, at the1, 5, and 10 percent level.7. Concluding RemarksCultural values seem to play a significant role in economic outcomes but, until recently, it has beenhard to prove empirically that culture causes economic behaviors. A recent promising empiricalstrategy is the epidemiological approach, relating immigrants’ behavior in the host country (within auniform economic and institutional environment) with economic or social patterns observed in theorigin country. However, the evidence gathered so far by the epidemiological approach is almostexclusively based on the US or Canadian immigrants.Following the epidemiological approach, in this paper we have investigated how culturalvalues from the home country affect work decisions of female immigrants in Italy, using the ISTATNational Survey of Households with Immigrants.Since Italy is a recent immigration country, we have used data on first generation immigrants.Although, from the one hand, this could lead to some estimation problems (due to language barriersand other shocks hitting immigrants when they first move to a foreign country), on the other hand firstgeneration immigrants allow us to capture cultural influence that have occurred through a widervariety of channels (parents, schools, friends, neighbors, social groups, etc.) and that are less affectedby assimilation processes with the natives. A further advantage of using data on Italian immigrants isthat the latter come from a large number of countries (118) and from all geographical areas, with verydifferent cultural background and religious beliefs.We relate the probability of being employed in Italy for immigrant women with the femalelabor force participation in the country of origin, taken as a proxy of cultural heritage and gender role20

Y(t)αy (t) = = A F[ K(t)/L(t),1 ] = fk(t) [ ] = A k(t ) (42)L(t)donde k (t) = K(t)/L(t ) es el nivel de capital per cápita. Con (40), (41) y (42) seobtiene:K'(t)[ ] = + δk(t)(43)s fk(t)L(t)el primer término del segundo miembro en (43) se puede expresar como:K'(t) L'(t)= k'(t) + k(t)(44)L(t) L(t)Asumiendo una tasa de crecimiento de la población es constante, positiva eigual a n, se combinan (42), (43) y (44) para encontrar la ecuación diferencial queresume la dinámica del capital:k'(t)α= s Ak(t) −(n+ δ)k(t)(45)Para encontrar la senda del capital en el tiempo, se resuelve la ecuación(45), no-lineal en k(t), utilizando una sustitución de variables.In[1]:= Clear@A, t, x, y, v, k, a, f, s, d, n, rDf@k_D = A *k^ aOut[2]= Ak aIn[3]:= eq1 = k'@tD -s *f@k@tDD + Hn + dL *k@tDOut[3]= Hn + dLk@tD -Ask@tD a +k ¢ @tDIn[4]:= eq2 = v'@tD + Hn + dL * H1 - aL *v@tD -s * H1 - aL *AOut[4]= -AsH1 - aL + H1 - aL Hn + dLv@tD +v ¢ @tDv'[t]Al definir a= As(1 − α)− (1 − α)(n+ δ)v[t](46)1−αv (t) = (kt) en (46), la ecuación diferencial no lineal queresuelve la dinámica del capital en (45), se convierte en una ecuación linealautónoma y no homogénea. Al resolverla, para la condición inicialobtiene la solución de la ecuación diferencial.v (0)=ko1−α, seIn[5]:= sol = DSolve@8eq2 0, v@0D ko^H1 - aL1−α α − ( −α[)( +δ) α⎪⎧t1 nko Ako s + e( − Ako s + kon ( + δ))] ⎪⎫1−αk (t) =(47)⎨⎪⎩n+δ⎬⎪⎭22

La expresión (47) establece la senda del capital a lo largo del tiempo y,partiendo de diferentes valores iniciales de ko, se obtienen trayectoriasalternativas. A modo ilustrativo, el gráfico 8 representa algunas de ellas. Losparámetros utilizados asumen los siguientes valores:A = 1, α = 0.7, s = 0.4, n = 0.3, δ = 0.1In[7]:= k1 @t_ D = k@tD . 8a fi 0.7, s fi 0.4, n fi .3, d fi .1, A fi 1

También se puede obtener una ayuda visual de la dinámica del modelo en undiagrama que vincule a k’(t) como función de k(t). La ecuación (45) determina estarelación no lineal, representada en el gráfico 11.In[17]:= kprima @k_ D = 0.4 *k^0.7 - H.1 +.3 L *k;Plot @kprima @kD, 8k, 0, 1.5

In[19]:= Clear @A, t, x, k, a, s, d, n, rDgg @k_ D = A k^ a;ss @k_ D = s *gg@kD;ee @k_ D = Hn + dL *k;In[23]:= 8gdp @k_ D, sav @k_ D, expend @k_ D< = 8gg @kD, ss @kD,ee @kD< . 8A fi 1, a fi 0.7, s fi 0.4, n fi 0.3, d fi 0.1

Teniendo en cuenta que se parte desde un estado estacionario, k’(t) = 0 en (49). Porlo tanto, de la condición de primer orden, se llega a:In[26]:= kgrule = k . Solve@D@f@kD, kD - Hn + dL 0, kDOut[26]= :J n + dA a N 1-1+a >1⎛ Aα⎞1−αkgrule (t) = ⎜ ⎟(50)⎝n+ δ ⎠Al valuar a kgrule(t) con los parámetros asumidos, se puede verificar que norepresenta un equilibrio dinámico y, por lo tanto, no se sostendrá en el tiempo. Latarea a realizar es modificar los parámetros disponibles, de manera que kgrule(t)sea un estado estacionario. Se supondrá a la tasa de ahorro (s) como única variablede política. Recordando a qué es igual k*(t) por (48), se puede encontrar s*:In[27]:= seest@k_D = s . Solve@ss@kD -ee@kD 0, sDOut[27]= : k1-a Hn + dLA>(* 1−α)* * (n + δ)s (k ) = k(51)AValuando a s* para el kgrule(t) definido anteriormente, se obtiene la tasa deahorro de estado estacionario que maximiza el consumo (de regla de oro).In[28]:= sgrule = seest@kgruleD SimplifyHn + dL iOut[28]= ::k I n+d1M -1+a y 1-aA a{>>A⎡ 11−α⎤* (n + δ)⎢⎛A α ⎞1−α⎥s (kgrule) = ⎢⎜⎟ ⎥ = α(52)A⎢⎝n+ δ ⎠⎣⎥⎦Una vez determinado el nuevo valor para s, es posible observar el efectosobre la trayectoria del consumo antes y después del ajuste. Para ello, se supondráque la economía se mantiene en el estado estacionario anterior (k* = 1), hasta queen t = 3, se lleva a cabo una política que modifica la tasa de ahorro. Manteniendolos valores de los demás parámetros, se obtiene, por (48) y (52):sgrule=0.7;k*grule⎛sgrule⎞= ⎜ ⎟⎝ n + δ ⎠11 − α=6.45843Se calcula la nueva trayectoria del capital, producto, inversión y consumorespectivamente.27

In[29]:= sol = DSolve@8eq2 0, v@3D ko^H1 - aL

y 1 = 3.69053; c1*= 1.10716; i1** =2.58337Puede observarse como, a pesar de que el consumo en el largo plazo será mayorque antes (de 0.6 a 1.10716); se genera un costo para las generaciones inmediatasposteriores (en 3 < t < 8 aproximadamente). Estas verán disminuido su consumo acosta de que sus descendientes (generaciones para t > 8) obtengan niveles superioresal alcanzado en el estado original (t < 3).4.2 El nivel de capital, producción y consumo agregado.Hasta ahora, el análisis se ha avocado a describir el comportamiento delcapital per cápita. Para conocer la dinámica de esta variable a nivel agregado, sedebe recurrir a la relación k(t) = K(t)/L(t). Recordando que L(t) crece a una tasaconstante e igual a n, se obtiene 4 :K (t)=suponiendo Lo = 1,nt= k(t) (Lt) k(t)Loe(53)K (t)=nt= k(t) (Lt) k(t)e(54)De la expresión (54) puede deducirse que K(t) no converge hacia un niveldeterminado, sino que crece cada vez más a medida que el tiempo transcurre. Tomandolímite se llega a:lim K(t) =t →∞klim*t →∞nt[ e ] = ∞ ⇔ n > 0Por otro lado, definiendo a la tasa de crecimiento como la derivada respectoal tiempo del logaritmo de (54):[ K(t) ] = lnk(t) [ ] ntln +[ ]dlnK(t)dtK'(t) k'(t)= = + n(55)K(t) kLa expresión (55) muestra como la tasa de crecimiento de K(t) en estadoestacionario es positiva e igual a n. Esto se deduce por cuanto k’(t) = 0 en esepunto. Se puede demostrar utilizando las ecuaciones (40) y (41) que la producción yel consumo agregado también crecen a la tasa n.K'(t)K(t)Y'(t)=Y(t)C'(t)=C(t)= nResulta interesante resaltar que, aún a pesar de que Y(t) crezca a la tasa nen el estado estacionario, la dinámica de corto plazo puede ser diferente. Paraobservar este fenómeno, se retorna a la situación anterior, donde en un punto deltiempo (t = 3), cambia uno de los parámetros del modelo (aumenta la tasa de ahorro)para maximizar el consumo (regla de oro).4A la expresión (14) se llega luego de resolver la ecuación diferencial L’(t)/L(t) = n29

Partiendo del estado estacionario inicial con y* = 1 (dado k* = 1), se elevala tasa de ahorro, modificando el nivel de capital y producción de largo plazo (elnuevo estado estacionario será mayor que el anterior). Ahora y1* ; k1* llegan a 3.69y 6.46 respectivamente.In[37]:= Y@t_ D = Exp @n *tD . 8n fi 0.3

Queda claro que ante un shock positivo en la tasa de ahorro, el producto percápita de estado estacionario se eleva (y1* > y*). De esta manera, para alcanzar esenuevo nivel, la tasa de crecimiento de Y(t) debe ser mayor que la de la población(n). Es por este motivo que la pendiente de lnY1(t) se eleva desde t = 3 y luego vaconvergiendo nuevamente hacia n.5. Comentarios finalesEl objetivo del presente ensayo fue integrar los principios matemáticos yeconómicos con comandos computacionales básicos para resolver ecuacionesdiferenciales. Para cumplirlo, se procedió a realizar una revisión teórica sobre eltema y ejercitaciones con un software adecuado.A partir de este instrumental matemático e informático, se estudiaron enprofundidad dos aplicaciones relacionadas la teoría del crecimiento económico: elmodelo Harrod-Domar y el modelo clásico de Solow. Se reconocieron así las ventajas yposibilidades del software Mathematica 4.0, cumpliendo los objetivos inicialmentepropuestos.6. Referencias BibliográficasBeare, John. Macroeconomics: Cycles, Growth and Policy in a Monetary Economy. NewYork: Mac Millan, 1978.Crooke, Philip S. y Cliff J. Huang. Mathematics and Mathematica for Economists.Oxford: Blackwell Publishers, 1997.Sala-i-Martin, Xavier. Apuntes de Crecimiento Económico. Barcelona: Antoni Bosch,2000.Simon, Carl y Lawrence Blume. Mathematics for Economists. London: W. W. Norton &Company, Inc., 1994.Shone, Ronald. Economic Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.7. ApéndiceSe comprobará el caso de raíces reales y repetidas para n = k = 2. Suponiendola ecuación:a y' + b y'+ cy = 0(a.1)el polinomio resulta:2P(r) = ar + b r + c = 0(a.2)Para que el polinomio posea dos raíces reales e iguales a r*, debe verificarse:31

2 = 4ac(a.3)El valor de r* es:r*b= −(a.4)2aEl conjunto C tendrá dos elementos:C{ } { ( − b/2a)t ( −y ,y = e , tb/2a)t }= (a.5)1 2 ey debe comprobarse que estas expresiones realmente son soluciones de la ecuacióndiferencial (a.1). La primera de ellas no presenta complicaciones para sudemostración. Algebraicamente:( −b/2a)ty 1 = e' ( −b/2a)ty1 = ( −b/2a) e2'' 2 ( −b/2a)tb ( −b/2a)ty1 = ( −b/2a) e= e24aUna vez derivada sucesivamente a la solución encontrada, se sustituyen estasrelaciones en la ecuación diferencial para comprobar que la satisfacen.⎛ 2ba ⎜2⎝4a( − b/2a)t ⎞e ⎟⎠−b⎛ b⎜⎝2a( −b/2a)t⎞e ⎟⎠+ c( −b/2a)t( e ) = 0( − b/2a)te⎛ 2⎜b⎝4a−2b+ c2a⎞⎟⎠=0⎛ 2⎜b⎝4a−2b2 + c4a⎞⎟ =⎠0b 2− + c 04a=(a.6)De (a.3) surge:2bc = (a.7)4acon (a.7) en (a.6):⎛⎜ −⎝2b4a+2b4a⎞⎟ =⎠0Queda demostrado que( −b/2a)ty 1 e= es solución de la ecuación diferencial. Laclave es estudiar la segunda de las expresiones y comprobar que también satisface(a.1). Se procederá con igual metodología que para el caso de y 1 . Algebraicamente:( −b/2a)ty2 = t ey' 2 =( −b/2a)te + t( −b/2a)( −b/2a)te =( −b/2a)t⎛e ⎜1⎝−b ⎞t ⎟2a ⎠32

y' 2( −b/2a)t⎛= ( −b/2a)e + ( −b/2a) ⎜⎝( −b/2a)te⎛⎜1⎝−b ⎞⎞t ⎟⎟2a ⎠⎠Extrayendo factor común:−y' ( b/2a)t2 = e⎛⎜−⎝2b b ⎞+ t⎟a 24a⎠Reemplazando en la ecuación diferencial:⎛( − b/2a)t ⎛e ⎜a⎜ −⎜⎝ ⎝2b b ⎞+ t⎟+a 24a⎠⎛ b ⎞b⎜1− t⎟⎝ 2a ⎠+ c t⎞⎟ = 0⎟⎠Efectuando la propiedad distributiva, simplificando y reemplazando al parámetro csegún (28) se tiene:⎛ 2 2 2b b b ⎞⎜ t − 2 t + t⎟= 04a 4a 4a⎝⎠La relación es satisfecha, con lo cual puede afirmarse que la expresión( −b/2a)ty2 t e= es una solución de la ecuación diferencial.Resta comprobar que sean LI, para poder aplicar el Principio de Superposición. Eldeterminante W será:W=−(b/2a)te−(b/2a)t( −b/2a)e( −b/2a)tt e( −b/2a)t⎛ b ⎞e ⎜1− t ⎟⎝ 2a⎠−(b/a)t⎛= e ⎜1⎝−bt2a+b ⎞t ⎟2a ⎠(b/a)tW = e− ≠ 0(a.8)Siendo las soluciones LI, la solución general resulta:( −b/2a)t( −b/2a)ty(t) = c1e+ c2te(a.9)33