Notas sobre ecuaciones diferenciales. Aplicaciones a la Teoría del ...

2 = 4ac(a.3)El valor de r* es:r*b= −(a.4)2aEl conjunto C tendrá dos elementos:C{ } { ( − b/2a)t ( −y ,y = e , tb/2a)t }= (a.5)1 2 ey debe comprobarse que estas expresiones realmente son soluciones de la ecuacióndiferencial (a.1). La primera de ellas no presenta complicaciones para sudemostración. Algebraicamente:( −b/2a)ty 1 = e' ( −b/2a)ty1 = ( −b/2a) e2'' 2 ( −b/2a)tb ( −b/2a)ty1 = ( −b/2a) e= e24aUna vez derivada sucesivamente a la solución encontrada, se sustituyen estasrelaciones en la ecuación diferencial para comprobar que la satisfacen.⎛ 2ba ⎜2⎝4a( − b/2a)t ⎞e ⎟⎠−b⎛ b⎜⎝2a( −b/2a)t⎞e ⎟⎠+ c( −b/2a)t( e ) = 0( − b/2a)te⎛ 2⎜b⎝4a−2b+ c2a⎞⎟⎠=0⎛ 2⎜b⎝4a−2b2 + c4a⎞⎟ =⎠0b 2− + c 04a=(a.6)De (a.3) surge:2bc = (a.7)4acon (a.7) en (a.6):⎛⎜ −⎝2b4a+2b4a⎞⎟ =⎠0Queda demostrado que( −b/2a)ty 1 e= es solución de la ecuación diferencial. Laclave es estudiar la segunda de las expresiones y comprobar que también satisface(a.1). Se procederá con igual metodología que para el caso de y 1 . Algebraicamente:( −b/2a)ty2 = t ey' 2 =( −b/2a)te + t( −b/2a)( −b/2a)te =( −b/2a)t⎛e ⎜1⎝−b ⎞t ⎟2a ⎠32