Notas sobre ecuaciones diferenciales. Aplicaciones a la Teoría del ...

El conjunto B contiene k soluciones iguales, y por ende linealmente dependientes. Eldeterminante W será igual a cero y el Principio de Superposición no podrá usarsepara generar la solución general. Sin embargo, puede crearse el siguiente conjuntoalternativo:C=r*t r* t 2 r*t k−1r*t{ y ,y ,...,y } = { e ,t e ,t e ,...,t }1 2 keSe demuestra que el conjunto C contiene k soluciones a la ecuación diferencial (14)y que además, ellas son LI. Una vez encontradas las n soluciones LI, se formula lasolución general:n−kky(t)c rt j 1 r*tieicjt−∑ + ∑ ei=1 j=1= (21)En el Apéndice se comprueba este enunciado para el caso en que n = k = 2.La tercera y última posibilidad es la aparición de raíces imaginarias en elpolinomio P (r) = 0. Se supone que:r 1 = h + v i(22)r 2 = h − v i(23)son dos raíces complejas conjugadas que satisfacen el polinomio P (r) = 0. Lassoluciones:(h + vi)ty 1 e= (24)(h −vi)ty 2 e= (25)satisfacen la ecuación diferencial y permiten armar la solución general:(h + vi)t(h −vi)ty(t) = c1e+ c2e(26)Aunque (26) refleja la solución de la ecuación diferencial, la existencia de lacomponente imaginaria en su formulación no permite comprender el comportamiento de yrespecto de t de manera clara. Por ello, utilizando la fórmula de Euler, puedetransformarse la expresión (26) en otra que elimine la componente imaginaria. Sedemuestra que la solución general es:ht hty (t) k1 cos(vt)e + k2seno(vt)e= (27)siendo k1 = c1+ c2∧ k2= c1− c2.Ha concluido el desarrollo para ecuaciones lineales, de orden n, concoeficientes constantes y homogéneas. Resta establecer la solución para casos consimilares características, pero no homogéneas. La ecuación en términos generales sedefine como:a n n−11n y + an− 1 y + ... + a1y + a 0 y = g(t) (28)11