Notas sobre ecuaciones diferenciales. Aplicaciones a la Teoría del ...

Se resolverá por lo tanto:f [y] = 0(13)y se hallará el valor y* tal que f [y*] = 0.El paso siguiente es investigar el tipo de estado estacionario. Resultarelevante conocer si dicho equilibrio es o no estable. Si para valores menores a y*la variable tiende a aumentar y, simultáneamente, para valores mayores la variabletiende a disminuir el estado estacionario es estable. En cualquier otro caso, lasolución es inestable. El gráfico 3 muestra, con el sentido de las flechas, ladirección del movimiento de la variable y.y 3y 1Gráfico 3. Diagrama de fasey 2y 4yLos puntos y i , ∀ i = 1,2,3, 4 poseen la característica común de hacer y ' = 0. Sinembargo, de la observación del sentido de las flechas surgen claramente diferenciasentre ellos. Para y 1 , si la variable y se encuentra a su izquierda (con valoresmenores) la misma tiende a moverse hacia el estado estacionario. Pero si se parte deun valor mayor, la variable se aleja. Claramente el punto y 1 no es estable. Unanálisis similar le cabe a y 3 (considerando el sentido opuesto de las flechas eneste caso). El valor de estado estacionario y 4 es alcanzado sólo si se parte dedicho punto. Si la variable se ubica a su izquierda (derecha) tiende a disminuir(aumentar), alejándose del equilibrio, siendo un estado estacionario inestable. Porúltimo, situados en el entorno de y 2 , a su izquierda (derecha), y tiende a aumentar(disminuir), estableciendo un estado estacionario estable.Al trabajar con ecuaciones diferenciales de primer orden y autónomas, ademásdel diagrama de fase, el estudio gráfico de la relación y ' = f[y]proporciona graninformación. Supongamos que dicha función se comporta de acuerdo a lo expuesto en elgráfico 4.Gráfico 4. Representación de y ' = f[y]y’CD0BEyAF7