Notas sobre ecuaciones diferenciales. Aplicaciones a la TeorÃa del ...

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Y(t)αy (t) = = A F[ K(t)/L(t),1 ] = fk(t) [ ] = A k(t ) (42)L(t)donde k (t) = K(t)/L(t ) es el nivel de capital per cápita. Con (40), (41) y (42) seobtiene:K'(t)[ ] = + δk(t)(43)s fk(t)L(t)el primer término del segundo miembro en (43) se puede expresar como:K'(t) L'(t)= k'(t) + k(t)(44)L(t) L(t)Asumiendo una tasa de crecimiento de la población es constante, positiva eigual a n, se combinan (42), (43) y (44) para encontrar la ecuación diferencial queresume la dinámica del capital:k'(t)α= s Ak(t) −(n+ δ)k(t)(45)Para encontrar la senda del capital en el tiempo, se resuelve la ecuación(45), no-lineal en k(t), utilizando una sustitución de variables.In[1]:= Clear@A, t, x, y, v, k, a, f, s, d, n, rDf@k_D = A *k^ aOut[2]= Ak aIn[3]:= eq1 = k'@tD -s *f@k@tDD + Hn + dL *k@tDOut[3]= Hn + dLk@tD -Ask@tD a +k ¢ @tDIn[4]:= eq2 = v'@tD + Hn + dL * H1 - aL *v@tD -s * H1 - aL *AOut[4]= -AsH1 - aL + H1 - aL Hn + dLv@tD +v ¢ @tDv'[t]Al definir a= As(1 − α)− (1 − α)(n+ δ)v[t](46)1−αv (t) = (kt) en (46), la ecuación diferencial no lineal queresuelve la dinámica del capital en (45), se convierte en una ecuación linealautónoma y no homogénea. Al resolverla, para la condición inicialobtiene la solución de la ecuación diferencial.v (0)=ko1−α, seIn[5]:= sol = DSolve@8eq2 0, v@0D ko^H1 - aL1−α α − ( −α[)( +δ) α⎪⎧t1 nko Ako s + e( − Ako s + kon ( + δ))] ⎪⎫1−αk (t) =(47)⎨⎪⎩n+δ⎬⎪⎭22
La expresión (47) establece la senda del capital a lo largo del tiempo y,partiendo de diferentes valores iniciales de ko, se obtienen trayectoriasalternativas. A modo ilustrativo, el gráfico 8 representa algunas de ellas. Losparámetros utilizados asumen los siguientes valores:A = 1, α = 0.7, s = 0.4, n = 0.3, δ = 0.1In[7]:= k1 @t_ D = k@tD . 8a fi 0.7, s fi 0.4, n fi .3, d fi .1, A fi 1
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