Notas sobre ecuaciones diferenciales. Aplicaciones a la Teoría del ...

ny (t) = c1 y(t) 1 + c2y(t)2 + ... + cny(t)n = ∑ ciy(ti ) (15)i=1Las n soluciones linealmente independientes (y i ) tendrán la forma y = φ(t). Una vezreemplazadas en (14), la ecuación debe verificarse.Es válido cuestionar la posibilidad de comprobar la independencia de las mismas.Para ello, se genera un determinante W (Wronskian) a partir de las n funciones y i yde sus sucesivas derivadas respecto de t y luego se comprueba el signo del mismo.W[y1,y,...,y2 n]Concentrados en el signo de W:y1y2K yny' 1 y' 2 K yn'= (16)M M O Mn n ny1y2K ynW≠0⇒Lassolucionesson LIW=0⇒Lassolucionesson LDUna vez definidos estos conceptos, es momento de buscar la solución de (14).Supongamos la presencia de una solución en la formay =rte. Esta expresión, sirealmente resuelve la ecuación diferencial, debe verificarla. Reemplazando en (14):n rt n−1rt rt∂ (e ) ∂ (e )∂(e) rtan + an1 ... a1a0en −+ ++n−1=∂t∂t∂tResolviendo las derivadas:0n rt n−1rt rt rtan r (e ) + an−1 r (e ) + ... + a1r(e ) + a0e=0Extrayendo e rtcomo factor común:n n−1[ a r + a r + ... + a r + a ] = 0rte n n−1 1 0Conociendo que la expresión e rtno asumirá el valor cero (puesto que se trata deuna potencia con base no nula), puede representarse el siguiente polinomio de gradon, en la variable r:n n−1P(r)= an r + an− 1 r + ... + a1r + a0= 0 (17)Los n valores que asuma r, como soluciones de (17), permitirán formar las nsoluciones de la ecuación diferencial (14). Simbolizando r i a cada solución delpolinomio, las n soluciones de la ecuación (y i ) resultarán:rty eii = ∀i= 1,2,...,n(18)Han sido halladas n soluciones para la ecuación diferencial lineal de orden ny con coeficientes constantes (14). Su forma funcional dependerá de los valores de rque resuelven la expresión (17). Los ceros del polinomio juegan un rol fundamental,puesto que generan las soluciones de la ecuación diferencial. Debe reconocerse que9