Universidad de Carabobo Autoridades

256 Anna Patete y Amilcar Erazo / Revista Ingeniería UC , Vol. 23, No. 3, Diciembre 2016, 247-259
suave ξ = Φ(η), con Φ(0) = 0. Esto implica que
existe una función Lyapunov V(η) suave, definida
positiva que satisface:
˙V(η) = ∂V [ ]
∂η f (η) + g (η) Φ (η) ≤ − W(η)
donde W (η) es definida positiva.
Haciendo el cambio de variable (18),
{ z = ξ − Φ(η)
v = u − ˙Φ(η)
(18)
el sistema (17) puede reescribirse como el sistema
(19),
[ ] {˙η = f (η) + g(η)Φ(η) + g(η)z
(19)
ż = v
El sistema (19) tiene la misma representación
que el sistema original (17), con la diferencia de
que el sistema (19) tiene un punto de equilibrio
asintóticamente estable en el origen cuando su
entrada z = 0. Entonces, la idea es diseñar un
controlador que permita que la entrada de control
z se estabilice en cero. Considere como candidata
a función Lyapunov para el sistema (19) la función
Lyapunov dada en la ecuación (20),
V a (η, z) = V(η) + 1 2 z2 (20)
cuya derivada está representada en la
ecuación (21),
˙V a = ∂V [ ]
f (η) + g (η) Φ (η)
∂η
+ ∂V
∂η
g (η) z + zv
≤ − W (η) +
[ ∂V
∂η g (η) + v ]
z (21)
Si se elige v = − ∂V g (η) − kz con k > 0, se
∂η
obtiene ˙V a ≤ − W (η) − kz 2 .
Lo que implica que ˙V a es definida negativa,
por lo tanto el origen η = 0, z = 0 es
asintóticamente estable. Dado que Φ (0) = 0, se
concluye finalmente que el origen η = 0, ξ = 0
es asintóticamente estable. Usando las expresiones
del cambio de variable (18) y sustituyendo la
expresión para ˙Φ (η) obtenemos la ley de control
(ver la ecuación (22)).
u = ∂Φ [ ] ∂V
f (η) + g (η) ξ −
∂η
∂η g (η)
− k [ ξ − Φ (η) ] (22)
En forma más general, la técnica backstepping
puede aplicarse al sistema de la forma (23),
{ (a) ˙η = f (η) + g (η) ξ
(23)
(b) ˙ξ = f a (η, ξ) + g a (η, ξ) u
donde la ecuación (23)(b) puede considerarse
como un integrador perturbado por la presencia
de las funciones f a y g a . Esta perturbación
es manejable mediante la transformación de la
entrada, lo que reduce la ecuación (23)(b) a un
integrador puro ˙ξ = u a (ver la ecuación (24)).
u =
1 [
ua − f a (η, ξ) ] (24)
g a (η, ξ)
Si se conocen el par de funciones Φ(η) y V(η)
correspondientes a la estabilización del primer
subsistema de (23), se puede tomar a u a igual al
control (22), y combinándolo con la ecuación (24)
se obtiene el control por backstepping para el
sistema (23) (ver ecuación (25)).
[ ∂Φ [ ] ]
u =g a (η, ξ) f (η) + g (η) ξ
∂η
− ∂V
∂η g (η) − k [ ξ − Φ (η) ] − f a (η, ξ) (25)
Para el diseño del controlador no lineal se
hace uso del modelo no lineal expresado en el
sistema (6). Se diseñan tres controladores, uno
para cada uno de los subsistemas desacoplados
(cabeceo, alabeo y guiñada). Es decir, para el
subsistema de alabeo se considera el sistema (26),
{
ẋ 1 = x 2
ẋ 2 = I yy−I zz
I xx
x 4 x 6 + l
I xx
U 2
(26)
El sistema (26) tiene la forma de el sistema (23)
con η = x 1 , ξ = x 2 , u = U 2 , f (η) = 0, g (η) = 1,
f a (η, ξ) = I yy−I zz
I xx
x 4 x 6 , g a (η, ξ) = l
I xx
. Se diseña un
control x 2 = Φ (x 1 ) que estabilice el origen x 1 = 0.
Revista Ingeniería UC, ISSN: 1316–6832, Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo.