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Carlos Martínez y Guillermo Ramírez / Revista Ingeniería UC , Vol. 23, No. 3, Diciembre 2016, 280-289 287 Tabla 3: Resultados de estimaciones del modelo PSH para dos causas excluyentes en los riesgos en competencia con un evento recurrente. Time Type Survival ∆N(s, t) Y(s,t) λ(s, t) 1 − λ(s, t) S (s, t) 0,0000 1 0,0000 0 539 0,00000 100,000 10,000 0,5585 1 0,9961 2 518 0,00386 0,99614 0,9961 0,9884 1 0,9920 2 486 0,00412 0,99588 0,9920 14,182 1 0,9877 2 456 0,00439 0,99561 0,9877 19,630 1 0,9807 3 425 0,00706 0,99294 0,9807 26,968 2 0,9732 3 389 0,00771 0,99229 0,9732 34,524 1 0,9650 3 358 0,00838 0,99162 0,9650 48,569 1 0,9586 2 304 0,00658 0,99342 0,9586 59,083 2 0,9516 2 271 0,00738 0,99262 0,9516 70,828 2 0,9430 2 221 0,00905 0,99095 0,9430 96,071 2 0,9314 2 163 0,01227 0,98773 0,9314 117,317 2 0,9168 2 128 0,01563 0,98438 0,9168 212,649 2 0,8613 2 33 0,06061 0,93939 0,8613 292,567 2 0,6460 1 4 0,25000 0,75000 0,6460 296,674 1 0,3230 1 2 0,50000 0,50000 0,3230 Tabla 4: Resultados de estimaciones del modelo PSH para dos causas no excluyentes en los riesgos en competencia con un evento recurrente. Time Type ∆N 1 (s, t) λ 1 (s, t) 1 − λ 1 (s, t) S 1 (s, t) ∆N 2 (s, t) λ 2 (s, t) 1 − λ 2 (s, t) S 2 (s, t) S ∗ (s, t) 0,000 1 0 0,00000 100,000 10,000 0 0,00000 100,000 100,000 10,000 0,559 1 2 0,00386 0,99614 0,9961 0 0,00000 100,000 100,000 0,9961 0,988 1 2 0,00412 0,99588 0,9920 0 0,00000 100,000 100,000 0,9920 14,182 1 2 0,00439 0,99561 0,9877 0 0,00000 100,000 100,000 0,9877 19,630 1 3 0,00706 0,99294 0,9807 0 0,00000 100,000 100,000 0,9807 26,968 2 0 0,00000 100,000 0,9807 3 0,00771 0,99229 0,99229 0,9732 34,524 1 3 0,00838 0,99162 0,9725 0 0,00000 100,000 0,99229 0,9650 48,569 1 2 0,00658 0,99342 0,9661 0 0,00000 100,000 0,99229 0,9586 59,083 2 0 0,00000 100,000 0,9661 2 0,00738 0,99262 0,98496 0,9516 70,828 2 0 0,00000 100,000 0,9661 2 0,00905 0,99095 0,97605 0,9430 96,071 2 0 0,00000 100,000 0,9661 2 0,01227 0,98773 0,96407 0,9314 117,317 2 0 0,00000 100,000 0,9661 2 0,01563 0,98438 0,94901 0,9168 212,649 2 0 0,00000 100,000 0,9661 2 0,06061 0,93939 0,89150 0,8613 292,567 2 0 0,00000 100,000 0,9661 1 0,25000 0,75000 0,66862 0,6460 296,674 1 1 0,50000 0,50000 0,4831 0 0,00000 100,000 0,66862 0,3230 Tabla 5: Resultados de estimaciones según modelo PSH, caso II, Parte a. Time AtRisk ∆N(s, t) Y(s, t) λ(s, t) 1 − λ(s, t) S (s, t) 0 539 0 539 0,00000 1,00000 1,000000 0,5585 521 3 521 0,00576 0,994240 0,994242 0,988400 488 3 488 0,00615 0,993850 0,988130 14,182 457 2 457 0,00438 0,995620 0,983805 19,63 426 3 426 0,00704 0,992960 0,976877 26,968 390 3 390 0,00769 0,992310 0,969363 34,524 359 3 359 0,00836 0,991640 0,961262 48,569 305 2 305 0,00656 0,993440 0,954959 59,083 272 3 272 0,01103 0,988970 0,944426 70,828 221 2 221 0,00905 0,99095 0,935879 96,071 163 2 163 0,01227 0,98773 0,924396 117,317 128 2 128 0,01563 0,984380 0,909952 212,649 33 2 33 0,06061 0,939390 0,854804 292,567 4 1 4 0,25000 0,75000 0,641103 296,674 2 1 2 0,50000 0,50000 0,320551 5. Análisis y discusión de resultados Los resultados de las aplicaciones de ambos modelos para el análisis de riesgos en competencia con un evento recurrente son mostrados en las Tablas 3 y 4, respectivamente. Las Tablas 3 y 4 muestran los resultados de las estimaciones del caso I, donde las estimaciones del modelo PSH son con dos causas excluyentes para los riesgos en competencia y con un evento recurrente y las Tablas 5 y 6 muestran los resultados del segundo caso, con estimaciones del modelo PSH con dos causas no excluyentes para los riesgos en competencia y con un evento recurrente. El método de estimación utilizado para ambos casos fue el modelo PSH, se asumió independencia en Revista Ingeniería UC, ISSN: 1316–6832, Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo.
288 Carlos Martínez y Guillermo Ramírez / Revista Ingeniería UC , Vol. 23, No. 3, Diciembre 2016, 280-289 Tabla 6: Resultados de estimaciones según modelo PSH, caso II, Parte b. Time AtRisk ∆N1(s, t) λ 1 (s, t) 1 − λ 1 (s, t) S 1 (s, t) ∆N 2 (s, t) Y(s, t) λ 2 (s, t) 1 − λ 2 (s, t) S 2 (s, t) S ∗ (s, t) 0,0000 539 0 0,00000 1,00000 1,0000 0 539 0,0000 1,00000 1,000000 1,000000 0,5585 521 2 0,00384 0,99616 0,99616 1 521 0,0019 0,99808 0,998081 0,994249 0,9884 488 2 0,00410 0,99590 0,99208 1 488 0,0021 0,99795 0,996035 0,988145 14,1820 457 2 0,00438 0,99562 0,98774 0 457 0,0000 100.000 0,996035 0,98382 19,6300 426 3 0,00704 0,99296 0,98078 0 426 0,0000 100.000 0,996035 0,976892 26,9680 390 0 0,00000 100.000 0,98078 3 390 0,0077 0,99231 0,988374 0,969378 34,5240 359 3 0,00836 0,99164 0,97259 0 359 0,0000 100.000 0,988374 0,961277 48,5690 305 2 0,00656 0,99344 0,96621 0 305 0,0000 100.000 0,988374 0,954973 59,0830 272 1 0,00368 0,99632 0,96266 2 272 0,0073 0,99265 0,981106 0,9444669 70,8280 221 0 0,00000 100.000 0,96266 2 221 0,0091 0,99095 0,972227 0,935920 96,0710 163 0 0,00000 100.000 0,96266 2 163 0,0123 0,98773 0,960298 0,924436 117,3170 128 0 0,00000 100.000 0,96266 2 128 0,0156 0,98438 0,945293 0,909991 212,6490 33 0 0,00000 100.000 0,96266 2 33 0,0606 0,93939 0,888003 0,85484 292,5670 4 0 0,00000 100.000 0,96266 1 4 0,2500 0,75000 0,666002 0,64113 296,6740 2 1 0,50000 0,50000 0,48133 0 2 0,0000 1,00000 0,666002 0,320565 los tiempos de inter-ocurrencias y la no presencia de un evento terminal. Para aquellos casos cuando se asume tiempos de inter-ocurrencia correlacionados, el modelo a utilizar se debe utilizar el modelo de WC, no es conveniente utilizar PSH debido a que al no considerara las correlaciones entre los tiempos de inter-ocurrencia se incurre en un error de estimación y los resultados podrían conducir a decisiones erróneas al momento de sus aplicaciones. Por otro lado, es de destacar que las estimaciones de las funciones de supervivencia se obtuvieron utilizando rutinas los paquetes survrec y TestSurvRec de la plataforma de R-cran. 6. Conclusiones En este trabajo se proponen dos modelos de riesgos en competencia, un modelo para causas excluyentes y otro para causas no excluyentes, en ambos casos con eventos recurrentes sin presencia de un evento terminal. Se deduce que si las causas de ocurrencia del evento son excluyentes, el riego total se estima según la ecuación (17), así, λ (t; x) = λ 1 (t; x) + λ 2 (t; x) + . . . +λ k (t; x) (17) La función de riesgo total es la suma de los riesgos parciales discriminados por cada causa y la función de supervivencia global (ver ecuación (18)) es el producto de las funciones de supervivencia discriminada por cada causa en el análisis de riesgos en competencia. ⎡ ∏ k∑ Ŝ (s, t) = ⎢⎣ 1 − w≤t j=1 ∆N j (s, w) Y (s, w) ⎤ ⎥⎦ (18) Así, Con, Ŝ (s, t) = w≤t k∏ j=1 S ∗ j (s, t) ∏ [ Ŝ j (s, t) = 1 − ∆N ] j (s, w) Y (s, w) Si las causas de ocurrencia del evento no son mutuamente excluyentes y la unidad puede experimentar evento por diversas causas en forma simultánea, tanto la función de riesgo total (ecuación (19)) como la función de supervivencia global (ecuación (20)) deben ser estimadas utilizando la ley de probabilidades como se aprecia a continuación, A = ∑ k j=1 λ j (t) B = ∑ k j ′ > j=1 λ j (t) λ j ′ (t) C = ∑ k j ′′ > j ′ > j=1 λ j (t) λ j ′ (t) λ j ′′ (t) D = (−1) k+1 ∏ k j=1 λ j (t) λ (t) = A − B + C − . . . + D (19) Y la función de supervivencia S (s, t) se define a través de la ecuación (20), Revista Ingeniería UC, ISSN: 1316–6832, Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo.
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