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284 Carlos Martínez y Guillermo Ramírez / Revista Ingeniería UC , Vol. 23, No. 3, Diciembre 2016, 280-289
abordados con el cuidado que se merecen, tal es el
caso de múltiples eventos recurrentes de riesgos en
competencia por causas no excluyentes entre sí.
Los modelos clásicos de riesgos en competencia
se especifican a través de la caracterización de
la distribución conjunta de (T i , r i , δ i ). Definir
las distintas especificaciones para estimar las
funciones de supervivencia por cada causa es la
clave en el marco de riesgos en competencia.
Definir para cada unidad i, la terna (T i , r i , δ i ) en
indispensable para estudiar todos los casos. T es
el tiempo de supervivencia, con T i = mín{Y i , C i }
en τ i . Y i es el tiempo de ocurrencia del evento en
la i-ésima unidad, C i es el tiempo de censura de
la i-ésima unidad y τ i es tiempo de observación
de la unidad, j es causa por la cual se produce el
evento y δ i es variable de censura. T se supone
que es una variable aleatoria continua y positiva,
y r i toma valores en el conjunto finito {1,2, ..., k} y
que representa la causa por la que ocurre el evento.
δ i = 0 si el dato es censurado y δ i = 1 si se
produjo el evento por alguna causa. Se consideró
que las unidades de estudio o experimentales sólo
se pueden presentar uno y sólo un tipo de evento.
La distribución conjunta de (T, R, δ) se estima
considerando la causa específica de riesgo a través
de la función de incidencia F j (t). De manera que
la función de riesgo instantáneo para la j-ésima
causa de ocurrencia del evento, queda definida por
la ecuación (7).
P (t≤T < t + ∆t | T≥t, r = j)
h j (t) = lím
∆t→0 ∆t
∀ j = 1, 2, . . ., k (7)
Donde, h j (t) representa la tasa de ocurrencia del
evento debido a la j-ésima causa. La función de
incidencia acumulada del evento de tipo j, F j (t),
queda definida por la ecuación (8).
F j (t) = P (T≤t, r = j) ∀ j = 1, 2, . . ., k (8)
Que corresponde a la probabilidad de que ocurra
el evento por la j-ésima causa en presencia de
todos los riesgos en competencia. La función de
distribución acumulada se obtiene a partir de las
funciones de incidencia mediante la ecuación (9).
k∑
F (t) = F j (t) (9)
j=1
La función de riesgos total se define mediante la
ecuación (10),
k∑
h (t) = h j (t) (10)
j=1
La función de supervivencia global, S (t), se
define en términos de los riesgos específicos por
la ecuación (11) o por la ecuación (12), así:
S (t) = e − ∑ k
j=1
∫ t
0 h j(s)ds
S (t) =
k∏
j=1
e − ∫ t
0 h j(s)ds
(11)
(12)
Por lo tanto, la función de supervivencia global,
S (t), se obtiene a partir de la ecuación (13),
k∏
S (t) = (t) (13)
Donde,
j=1
S ∗ j
S ∗ j (t) = e− ∫ t
0 h j(s)ds
(14)
Estas son llamadas funciones de incidencia (Véase
ecuación (14)).
2.6. Modelo no paramétrico tipo Kaplan-Meier
para riesgos en competencia.
El estimador clásico de Kaplan-Meier se puede
generalizar para estimar riesgos en competencia.
Observe que,
t j1 ≤t j2 ≤. . .≤t jk
Si, t jki denota los tiempos de ocurrencia del
evento debido a la j-ésima causa en la i-ésima
unidad, n ji denota el número de unidades a riesgo
justo antes t ji y d ji denota el número de ocurrencias
debido a j-ésima causa en el momento t jki . Y, si
se usan los mismos argumentos para estimar la
función de supervivencia a través del estimador
clásico de Kaplan-Meier, y se asume que las
causas son excluyentes entre sí, las funciones de
supervivencia para riesgos en competencia debido
a la j-ésima causa las funciones de supervivencia
pueden ser estimadas a través de la ecuación (15).
∏ [
Ŝ j (t) = 1 − d ]
ji
(15)
n ji
t ji ≤t
Revista Ingeniería UC, ISSN: 1316–6832, Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo.