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a [in] Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería Métodos numéricos básicos para ingeniería 33 ∫ ( [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] √ ) Aplicando la ecuación (6.2) en una hoja de Excel tenemos la gráfica de crecimiento de la grieta: 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 N [ciclos] Figura 6.7. Crecimiento de grieta calculado por integración numérica. Según el valor final de la integral los ciclos de falla son: Carlos Armando De Castro Payares
Asesorías en Matemáticas, Física e Ingeniería Métodos numéricos básicos para ingeniería 34 7. ECUACIONES DIFERENCIALES CON VALOR INICIAL Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales que se presentan aplican para ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales de tipo ( ) ( ) ( ) Estos métodos son muy útiles cuando se tienen ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse por los métodos analíticos o cuya solución analítica es muy engorrosa. Nota: estos métodos son generalizables a sistemas de ecuaciones diferenciales, aplicando la discretización o método de solución a cada ecuación del sistema por separado y uniendo las soluciones a medida que se hallan. 7.1. MÉTODO DE EULER El método de Euler consiste en aproximar la derivada de la ecuación 7.1 por diferencias finitas como en la ecuación 6.4, entonces la ecuación diferencial resulta ( ) Por lo cual el valor de la función en el intervalo de tiempo n+1 es ( ) ( ) El método de Euler tiene la desventaja de que se vuelve inestable y la solución diverge si el tamaño de paso de tiempo es muy grande. En el algoritmo 7.1 se muestra el algoritmo del método de Euler en pseudocódigo debido a que no hay forma de escribir un código en Matlab general para este método. Algoritmo 7.1: Método de Euler (pseudocódigo) Entradas: valor inicial y0, tiempo inicial t0, tamaño de paso dt, número de puntos N Salidas: valores y tal que dy/dt = f(t,y) y(1)=y0; t(1)=t0; for n=2:N y(n)=y(n-1)+dt*f(t(n-1),y(n-1)); t(n)=t(n-1)+dt; end Carlos Armando De Castro Payares
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