monografía - Límites

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
ÁREA DE INGENIERÍA
ASIGNATURA DE CALCULO
Calculo I
Análisis de los procesos aplicativos de los limites
trigonométricos, limites exponenciales y logarítmicos
2021-2022
Docentes: Ruben Dario Mendoza Arenas
Integrantes:
Marisol Paola Delgado Baltazar
Palomino Chahua Saam Kevin 21190065
Pantaleon Meza Michael Jordan 21190218
Pérez Gonzales Renzo Antonio 21190196
Pinedo Torres Jean Pierre 21190354
Quispe Bendezu Carlos Felipe 21190055
Ramos Callacna Pablo Daniel 21190171
Ciudad universitaria, 2022
1

DEDICATORIA
La presente monografía está
dedicado a la pronta recuperación
del profesor Rubén Darío Mendoza
Arenas, a quien encomendamos
toda nuestra devoción a su estado
de salud, sabemos que él se pondrá
mejor y retornará con todo a su
profesión.
2

Índice
Dedicatoria .................................................................................................................................... 2
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 4
CAPÍTULO I .................................................................................................................................... 5
1.1 Antecedentes .................................................................................................................. 6
1.1.1 Aporte de Augustin Louis Cauchy: ................................................................... 6
1.1.2 Aporte de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ................................................ 6
CAPITULO II ............................................................................................................................... 8
CONCEPTOS ............................................................................................................................. 8
2.1 Conceptos ....................................................................................................................... 9
2.1.1 ¿Qué es un logaritmo? ......................................................................................... 9
2.1.2 Definición formal del limite ................................................................................ 10
2.1.3 Ecuaciones exponenciales ................................................................................ 10
2.1.4 Ecuaciones logarítmicas .................................................................................... 11
2.1.5 Limites. .................................................................................................................... 11
CAPITULO III ............................................................................................................................ 14
DESARROLLO ......................................................................................................................... 14
3.1 Limites trigonométricos ............................................................................................. 15
3.1.1 Aplicaciones de limites trigonométricos ....................................................... 16
3.2 Limites exponenciales................................................................................................ 18
3.2.1 Limite de la forma limx → cf(x)g(x) ............................................................... 19
3.2.2 Aplicación de los limites exponenciales. ....................................................... 20
3.3 Límites de funciones logarítmicas .......................................................................... 22
3.3.1 Aplicaciones de límites de funciones logarítmicas .................................... 24
Conclusiones ............................................................................................................................... 26
3

INTRODUCCIÓN
En la antigüedad se emplearon procedimientos basados en límites, estos fueron
usados por los antiguos griegos para el cálculo de áreas. En el siglo XVII, los
inventores del cálculo Leibniz y Newton, no le dieron una definición formal al
concepto de límite. Con el pasar del tiempo se buscó un concepto formal.
Una definición apropiada de límites sería que “El hecho de que una
función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntos
suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se
desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que adquiere f en
dicho punto c.”
En calculo el concepto de limites es utilizado para definir los conceptos
fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre
otros.
Una forma de entender mejor el concepto sería observando el ejemplo.
Para la función f(x) = x + 3 , x ≠ 2
En la imagen se puede observar que f(2) no existe, además los valores de f(x)
se aproximan a 5, pero no llegan a ser 5.
Entonces se asume que el límite de f(x) cuando x tiende (o se aproxima) a 2 es
igual a 5, se puede denotar de la siguiente forma: lim
x→
f(x) = 5
Imagen 3
Tópicos de cálculo Imagen 1 (pág. 110)
Nota. Tomado de Máximo, M. (2010). Tópicos de cálculo. Santilla.
4

CAPÍTULO I
5

1.1 Antecedentes
1.1.1 Aporte de Augustin Louis Cauchy:
Habría que esperar hasta el año 1821 cuando apareció el escrito “Cours
d’analyse algébrique” escrito por Louis Cauchy, en su obra define el límite de
una función de la siguiente forma y cito:
“Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se
aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir
de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces
dicho valor fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores.”
Augustin. C. (1821). Cours d’analyse algébrique.
Imagen 1
Augustin Louis Cauchy
Nota. Tomado de Miller, F. P., Vandome, A. F., & McBrewster, J. (Eds.).
(2010). Augustin Louis Cauchy. Alphascript Publishing
1.1.2 Aporte de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
Tendría que pasar aún treinta años desde el aporte de Couchy para que el
riguroso alemán Karl Weierstrass viniese a rematar la faena del concepto de límite,
6

con la ayuda de sus épsilon y delta de que no son más que números reales, muy
pequeños y muy próximos a cero, y que tanto éxito le dieron.
Imagen 2
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
Nota. Tomato de Super User. (s/f). Weierstrass, Karl. Unam.mx. Recuperado el 16 de
febrero de 2022, de https://paginas.matem.unam.mx/cprieto/biografias-dematematicos-u-z/238-weierstrass-karl.
7

CAPITULO II
CONCEPTOS
8

2.1 Conceptos
Para entender el correcto procedimiento del analices de los limites
exponenciales y logaritmos se debe tener conocimientos previos que
detallaremos a continuación
2.1.1 ¿Qué es un logaritmo?
Los logaritmos son otra manera de pensar en exponentes. Por ejemplo,
sabemos que 2 elevado a la potencia 4 es igual a 16. Esto se expresa con la
ecuación exponencial 2 4 = 16.
Ahora supongamos que nos preguntan: “¿2 elevado a qué potencia es igual a
16?" La respuesta sería: 4. Esto se expresa con la ecuación logarítmica
log 2 16 = 4 (se lee "log base dos de dieciseis es cuatro").
2 4 = 16 ↔ log 2 16 = 4
Ambas ecuaciones describen la misma relación entre los números 2,4,6
Imagen 4
Logaritmo y sus propiedades
Nota. Tomado de Educativo, P. (s/f). Logaritmos y sus propiedades. Portal
Educativo. Recuperado el 16 de febrero de 2022, de
9

https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/35/logaritmospropiedades
2.1.2 Definición formal del limite
“El límite de una función, cuando x tiende a c es L si sólo si para todo
épsilon existe un delta tal que para todo número real x en el dominio de la
función si cero es menor que el valor absoluto de x-c y este es menor al delta
entonces el valor absoluto de f (x)-L es menor a épsilon.”
Esto, escrito en notación formal:
0
lim f(x) = L ↔ ∀ε > 0, ∃σ > ∈ Dom(f), 0 < |x − c| < δ → |f(x) − L| < ε
x→c ∀x
Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los
símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto
de límite.
Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite
existe, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si
el límite existe, entonces es posible tal δ.
2.1.3 Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece,
únicamente, en los exponentes de potencias de bases constantes. La incógnita
puede aparecer en el exponente de uno o más términos, en cualquier miembro
de la ecuación
Es decir, una constante está elevada a una función de la incógnita a despejar,
usualmente representada por x.
10

2.1.4 Ecuaciones logarítmicas
Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita se encuentra
en el argumento de logaritmos. Su resolución se reduce, en realidad, a la
resolución de ecuaciones del estilo de las expresiones algebraicas de los
argumentos. También podemos encontrar ecuaciones en las que la incógnita se
encuentra en la base de los logaritmos o en los exponentes de sus argumentos
2.1.5 Limites.
En el análisis en los números reales y complejos, el concepto de límite es
la clave que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto
de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o
función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series
convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto
de límite.
Además, el límite tiene una notación especial:
11

Imagen 5
límite de f cuando x se acerca (o tiende a) 3
Nota. Tomado de Anónimo. Introducción a límites. (s/f). Khan Academy.
Recuperado el 16 de febrero de 2022, de
https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-
2/a/limits-intro
Geométricamente el límite son las variables x que pertenecen al intervalo
<c-δ, c+δ> que se aproximan al punto c (denominado limite) que a su vez tienen sus
imágenes en el intervalo <L-ε,L+ε>. Este intervalo se le conoce como vecindad de centro
L. los valores de la vecindad deben ser sumamente pequeños para que tengan la mayor
aproximación posible.
Imagen 6
Curva de aproximación
12

Nota. Tomado de Anónimo. Introducción a límites. (s/f). Khan Academy.
Recuperado el 16 de febrero de 2022, de
https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-
2/a/limits-intro
13

CAPITULO III
DESARROLLO
14

3.1 Limites trigonométricos
Como se definió anteriormente el límite L de cualquier función y=f(x),
cuando x tiende a un valor a, es el valor al que la y o función se acerca (o toma)
cuando la x toma valores muy cerca de a sin coincidir nunca con ese valor de a.
lim f(x) = L
x→a
Considerando
la definición de las funciones seno y coseno, como la
ordenada y la abscisa de un punto P que se mueve en una circunferencia unitaria
en un sistema de ejes coordenados, determinando el ángulo x en cada posición;
intuitivamente podemos establecer lo siguiente:
lim sen(x) = sen(a) y lim cos(x) = cos(a)
x→a x→a
Las funciones seno y coseno son continuas en todo su dominio que es
todos los reales. Pero llim
x→a
sen(x) = No existe y lim
x→a
cos(x) = No existe ya que
las dos funciones son periódicas, están variando entre menos uno y uno.
Además, las funciones seno y coseno no tienen asíntotas horizontales ni
verticales.
Sin embargo, hay 3 límites importantes que involucran al seno y el coseno
y que nos servirán para obtener otros límites y principalmente sus derivadas.
sen(x)
lim = 1
x→a x
tg(x)
lim = 1
x→a x
cos(x) − 1
lim
= 0
x→a x
15

Además:
lim sen(x) = sen(a)
x→a
lim cos(x) = cos(a)
x→a
3.1.1 Aplicaciones de limites trigonométricos
Ahora veremos unos ejercicios para entender mejor lo expuesto anteriormente
1−cos6x
Ejercicio: lim
x→0 sen6x
1 − cos6x
lim
→ 1 − cos6(0) = 1 − 1 = 0 (F. I. )
x→0 sen6x sen 6(0) 0 0
lim
x→0
1 − cs6x
x
6 sen6x
6 x
=
1 − cos6x
6x
sen6x
6x
= 0
6(1) = 0
1−cosx
Ejercicio: lim
x→0 x
1 − cosx
lim → 1 − cos0 = 1 − 1 = 0 (F. I. )
x→0 x
0 0 0
(1 − cosx)(1 + cosx) sen 2 x
lim
= lim
x→0 x(1 + cosx)
x→0 x(1 + cosx)
senx
= lim
x→0 x
. lim senx
x→0 1 + cosx
= (1) ( 0 2 ) = 0
16

Ejercicio: lim
x→ π 3
sen(6x)
cos 2 (x)−sen 2 (x)
lim
x→ π 3
sen(6x)
cos 2 (x) − sen 2 (x) = sen 6( π 3 )
3cos 2 ( π 3 ) − sen2 ( π 3 )
sen (2π)
=
3cos 2 ( π 3 ) − sen2 ( π 3 )
=
0
3( 1 2 )2 − ( √3
2 )2 =
0
3 ( 1 4 ) − 3 4
= 0 0
(F. I. )
= lim
h→0
lim
x→ π 3
sen 6x
cos 2 (x) − sen 2 (x) = lim
sen 6 (h − π 3 )
h→0
3cos 2 (h − π 3 ) − sen2 (h + π 3 )
= lim
h→0
sen (6h+2π)
3(cos (h− π 3 ))2 −(sen (h+ π 3 ) )2
sen (6h)
= lim
h→0
3(cos (h − π 3 ))2 − (sen (h + π 3 ))2
sen 6h
= lim
h→0
3(cosh. cos π 3 − senh. sen π 3 )2 − (senh. cos π 3 + sen π 3 . cosh)2
= lim
h→0
sen 6h
3( 1 √3
2
cosh −
2 senh)2 − ( 1 √3
2
senh +
2 cosh)2
sen 6h
3 ( 1 4 cos2 h − √3
2 senh. cosh + 3 4 sen2 h) − ( 1 4 sen2 h + √3
2 senh. cosh + 3 4 cos2 h)
sen 6h
= lim
h→0 2sen 2 h − 2√3senh. cosh = lim sen 6h
h→0 senh (2senh − 2√3cosh)
sen 6h
= lim
h→0 senh . lim 1
h→0 2senh − 2√3cosh = 6 1 . 1
2sen0 − 2√3cos0
1
= 6.
−2√3 = −3
√3 (√3
√3 ) = −3√3 = −√3
3
17

3.2 Limites exponenciales
exponencial.
El límite de una exponencial depende, sobre todo, de la base de la
Límite cuando x→+∞
Supongamos que x tiende a +∞, entonces
Si la base es mayor que 1, el límite es infinito positivo.
lim
n→∞ 5n = + ∞
Si la base está entre 0 y 1, el límite es 0.
lim ( 1
n→∞ 3 )n = 0
Si la base es 1, el límite es 1:
lim
n→∞ 1n = 1
Importante: si se trata de una indeterminación.
Límite cuando x→-∞
Supongamos que x tiende a -∞, entonces
Si la base es mayor que 1, el límite es 0.
lim
n→∞ 100n = 0
Si la base está entre 0 y 1, el límite es infinito.
lim
n→∞ 0.3n = + ∞
18

3.2.1 Limite de la forma lim
x→c
(f(x)) g(x)
Pero lo que nos interesa tratar en este capítulo es límite de la siguiente forma:
lim
x→c (f(x))g(x)
Al momento de desarrollar este tipo de ejercicio nos podemos encontrar los
siguientes casos.
1. Si existen los limites lim
x→c
f(x) = C y lim
x→c
g(x) = D y son finitos.
→ lim(f(x)) g(x) = lim(f(x)) lim g(x) x→c = C D
x→c x→c
2. Si lim
x→c
f(x) = C ≠ 1 y lim
x→d
g(x) = ±∞
→ lim
x→c
(f(x)) g(x) es inmediato
3. lim
x→c
f(x) = C = 1 y lim
x→d
g(x) = ±∞
lim
x→c (f(x))g(x) = 1 ∞ (Indeterminado)
Para poder levantar la indeterminación del límite en el caso 3 debemos definir
lo siguiente:
f(x)=1+∅(x) y lim
x→c
∅(x) = 0
Luego usaremos la siguiente propiedad del número de Euler
lim (1 +
x→∞ x)1 = e
19

Reemplazando obtendremos.
lim
x→c (f(x))g(x) = lim[(1 + ∅(x)) ∅(x) ] ∅(x)g(x) = e lim
x→c
1
x→c ∅(x)g(x)
3.2.2 Aplicación de los limites exponenciales.
Ahora veremos algunos ejercicios para entender con más claridad de lo expuesto
anteriormente.
Ejercicio: lim
x→∞
[ x−4
x+1 ]x−2
lim [x − 4 x−2
x→∞ x + 1 ]
= lim
x→∞
[1 +
= lim
x→∞
[ ( 1 +
= ex→∞
lim −5(x−2)
x+1
= e −5
−5 x−2
x + 1 ]
−5 − x+1
x + 1 ) 5
]
−
5
x+1 (x−2)
20

Hallar el siguiente límite
lim ( 3x−4
x→∞ 3x+2 )x+1 3
Tenemos que darle esta forma
para acotar la expresión
Primero sumamos y restamos 1
3x − 4
lim (1+
x→∞ 3x + 2 − 1)x+1 3
Operando y
ordenando
lim (1+
−6
x+1
x→∞ 3x + 2 ) 3
Ahora tenemos que darle forma al exponente
lim (1+ −6
x+1
x→∞ 3x + 2 ) 3
Multiplicando
por conveniencia lim (1+
−6
x+1
x→∞ 3x + 2 ) 3 × −6
3x+2 ×3x+2 −6
lim {(1+
x→∞
−6
3x+2
3x + 2 ) −6
x+1
3 × −6
3x+2
}
Reemplazando
ex→∞
lim x+1
3 × −6
3x+2
ex→∞
lim −2x−1
3x+2
e
lim
x→∞
−2x
x
−1 x
3x
Nos queda
x +2 x
e −2/3
21

3.3 Límites de funciones logarítmicas
Primero recordemos las funciones Logarítmicas.
- Es una función que tiene como regla de correspondencia es f(x) = log b x;
donde b > 0 ∧ b ≠ 1.
- Dom f(x) = < 0, + ∞ > y Ran f(x) = R
- Además, recordando un poco sobre logaritmo:
log b x = a ↔ b a = x; x > 0; b > 0 ∧ b ≠ 1
Propiedades de los límites de funciones logarítmicas:
lim log a x = 0
x→1
lim log a x = 1
x→a
lim log
x→0 + a x = −∞
lim log a x = +∞
x→+∞
lim (1 +
x→0 x)1 = e
22

−1
lim
x→0 (Ax x
) = ln A ; A > 0, A ≠ 1
−B
lim
x
x→0 (Ax x
) = ln( A ) ; A, B > 0; A, B ≠ 1
B
− 1
lim
x→0 (AF(x) ) = ln A ; siempre que lim F(x) = 0
F(x)
x→0
lim (log a F(x)) = log a ( lim F(x) ; siempre que
x→x 0 x→x0
lim F(x) > 0
x→x 0
23

3.3.1 Aplicaciones de límites de funciones logarítmicas
Para afianzar los conocimientos desarrollados ahora veremos algunos
ejercicios.
ln(a+x)−ln(a)
Ejercicio: lim
= L
X→0 x
ln(a + x) − ln(a)
L = lim
x→0 x
ln (
L = lim
x→0
a + x
x )
x
L = lim
x→0
( 1 x ) . ln(1 + x a )
a
L = lim
x→0 x (1 a ) . ln (1 + x a )
L = 1 a lim
x→0 ln(1 + x a )a x
L = 1 a ln(lim
x→0 (1 + x a )a x
L = 1 ln e
a
L = 1 a
24

log(x+h)+log(x−h)−2 log x
Ejercicio: L = lim( ), x > 0
h→0 h 2
log(x + h) + log(x − h) − 2 log x
L = lim( h→0 h 2 )
L = lim
h→0
log(x + h)(x − h) − log x 2
h 2
log( x2 − h 2
L = lim
x 2 )
h→0
h 2
1
L = lim
h→0 h 2 . − h 2
log(x2 x 2 )
L = lim
h→0
[log ( x2 −h 2
x 2 )
1
h 2 ]
L = log [ lim ( x2 − h 2
1
h 2
h→0 x 2 ) ]
L = log e lim h→0
1
h 2 [x2 −h 2
x 2 −1]
1
⇒ lim
h→0 h 2 (−h2 x 2 ) = lim −1
x→0 x 2 = −1
x 2
L = log e −1
x 2
L = ( −1
x2) log e
25

CONCLUSIONES
Como vimos en este trabajo, los aportes de diversos estudios por parte de
Cauchy, Weierstrass y otros más, dieron muchos enfoques a lo que viene ser los
limites como los exponenciales, trigonométricos y logarítmicos.
Por parte de las exponenciales si es del tipo: f(x) = k x , siendo k un número
positivo diferente de 1. ... La variable de la función está en el exponente. Si k és
mayor que 1 (k > 1), la función exponencial es continua y estrictamente creciente
en el dominio de los números reales.
Por parte de los limites trigonométricos, son aquellos en los cuales se
hace presente una función trigonométrica. Para su resolución se hace uso de
método abreviados conocidos como limites notables, lo cual facilita su solución.
Por parte de los limites logarítmicos de una función es igual al logaritmo
de la función por separado para un determinado punto en el cual esté definida
dichas funciones.
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Referencias
Anónimo. Ecuaciones exponenciales: Ejemplos y ejercicios resueltos: Eso y
bachiller. (s/f). Matesfacil.com. Recuperado el 16 de febrero de 2022, de
https://www.matesfacil.com/ESO/exponenciales/ejercicios-resueltosecuaciones-exponenciales.html
Anónimo. Introducción a límites. (s/f). Khan Academy. Recuperado el 16 de
febrero de 2022, de https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ablimits-new/ab-1-2/a/limits-intro
Educativo, P. (s/f). Logaritmos y sus propiedades. Portal Educativo.
Recuperado el 16 de febrero de 2022, de
https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/35/logaritmospropiedades
izumorin. (s/f). Presentación historia del concepto de limite. Slideshare.net.
Recuperado el 16 de febrero de 2022, de
https://es.slideshare.net/izumorin/presentacin-historia-del-concepto-delimite
Llopis, J. (s/f). MATESFACIL, EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICAS.
Matesfacil.com. Recuperado el 16 de febrero de 2022, de
https://www.matesfacil.com/
Máximo, M. (2010). Tópicos de cálculo. Santilla.
Miller, F. P., Vandome, A. F., & McBrewster, J. (Eds.). (2010). Augustin Louis
Cauchy. Alphascript Publishing.
27

Super User. (s/f). Weierstrass, Karl. Unam.mx. Recuperado el 16 de febrero de
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Wikipedia contributors. (s/f). Límite (matemática). Wikipedia, The Free
Encyclopedia.
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%ADmite_(matem%C3%
A1tica)&oldid=139096108
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