Rahoituksen teoriaa ja sovelluksia aktuaareille (1 ... - Finanssivalvonta

ˆπ ε (¯x). Soveltamalla nyt Taylorin kehitelmää kuvaukseen u(z) sekä kuvaukseen u(¯x(1 − ˆπ ε (¯x))) saadaan
u(z) ≈ u(¯x) + u ′ (¯x)ε¯x + 1 2 u′′ (¯x)ε 2¯x 2
u(¯x(1 − ˆπ ε (¯x))) ≈ u(¯x) − u ′ (¯x)ˆπ ε (¯x)¯x,
sillä kohinan ε ja siten preemion ˆπ ε (¯x) oletettiin olevan "pieniä". Ottamalla ensimmäisestä yhtälöstä
odotusarvo puolittain saadaan
E[u(z)] = E[u(¯x(1 + ε))] ≈ u(¯x) + 1 2 u′′ (¯x)σ 2 ε ¯x 2 ,
jolloin yhdistämällä tämä tulos jälkimmäiseen yhtälöön saadaan tulokseksi, että tasapainoehto E[u(z)] =
u(¯x(1 − ˆπ ε (¯x))) on voimassa aina kun ehto
u(¯x) + 1 2 u′′ (¯x)σ 2 ε ¯x 2 = u(¯x) − u ′ (¯x)ˆπ ε (¯x)¯x ⇒ ˆπ ε (¯x) = − 1 2 σ2 ε
toteutuu. Preemiossa ˆπ ε (¯x) esiintyvä tekijä
R(¯x) = − ¯xu′′ (¯x)
u ′ (¯x)
= ¯xA(¯x)
¯xu ′′ (¯x)
u ′ (¯x)
on ns. suhteellisen riskinkaihtamisen kerroin (coefficient of relative risk aversion). Tällä lokaalilla
kertoimella on samat hyvät ominaisuudet kuin absoluuttisella riskinkaihtamisen kertoimella. On syytä
huomata, että lokaalisuudestaan huolimatta kertoimet A(x) ja R(x) ovat hyvin keskeisiä, sillä ne nousevat
lähes poikkeuksetta esiin tutkittaessa optimaalista päätäntää riskinkaihdannan vallitessa. Rahoituksen
kirjallisuudessa ilmeneekin tyypillisesti neljä eri hyötyfunktioiden pääluokkaa, jotka generoituvat nimenomaisesti
riskinkaihtamisen kertoimien A(x) sekä R(x) avulla. Nämä päätyypit ovat CARA (Constant
Absolute Risk Aversion), HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion), CRRA (Constant Relative Risk
Aversion) sekä HRRA (Hyperbolic Relative Risk Aversion).
Huomautus: Edellä mainitut satunnaisperturbaatiot ovat hyvin keskeisiä analysoitaessa myös eri riskillisten
tuottovirtojen arvostusta riskinkaihdannan vallitessa. Oletetaan, että sijoituksen tuotto x on satunnainen
ja määritellään tuotot x a = x+ε sekä x m = x(1+ε), missä ε on x:stä riippumaton satunnaismuuttuja
joka toteuttaa ehdot E[ε] = 0 ja var[ε] = σ 2 ε. Riippumattomuudesta seuraa, että ¯x = ¯x a = ¯x m ,
joten odotetut tuotot ovat yhtä suuret. Toisaalta
ja
var[x a ] = σ 2 x + σ 2 ε > σ 2 x
var[x m ] = σ 2 x + (σ 2 x + ¯x 2 )σ 2 ε
joten huomataan, että x a ja x m antavat saman keskituoton kuin x mutta korkeammalla riskillä. Tämän
tyyppistä satunnaisperturbaatiota kutsutaan satunnaismuuttujan x keskiarvon säilyttäväksi levitykseksi
(mean preserving spread). On syytä painottaa, että tämän luokan perturbaatiot eivät aina ole välttämättä
additiivisia tai multiplikatiivisia, vaan mikä tahansa muunnos (siis myös funktionaalinen), joka säilyttää
keskituoton muuttumattomana samalla riskiä kasvattaen, kelpaa. Jottei tämä jäisi epäselväksi, tarkastellaan
lineaarista kuvausta f(x) = ax+b, missä x on satunnainen ja a,b ∈ R ovat tunnettuja parametreja.
Kuten hyvin tiedetään, pätee tälle kuvaukselle ehdot E[f(x)] = a¯x + b ja var[f(x)] = a 2 σ 2 x. Tällöin mikä
tahansa parametrinen muutos, joka toteuttaa ehdon
säilyttää keskiarvon keskihajontaa muuttamalla!
db
da = −¯x
Esimerkki: (A) Eksponentiaaliselle hyötyfunktiolle U(x) = −e −ax , a > 0 pätee A(x) = a, R(x) = ax,
A ′ (x) = 0 ja R ′ (x) = a
7