Rahoituksen teoriaa ja sovelluksia aktuaareille (1 ... - Finanssivalvonta

Sijoittamalla tämä ehto muihin optimaalisuusehtoihin saadaan
[ ( n
) ] [ (
∑
n
)]
∑
E U ′ θi ∗ d i d k = E U ′ θi ∗ d i r f P k ⇒ P k = E[U ′ ( ∑ n
i=1 θ∗ i d i) d k ]
E[U ′ ( ∑ n
i=1 θ∗ i d .
i)]r f
i=1
i=1
Vastaavasti huomataan, että kertomalla ensimmäisen kertaluvun optimaalisuusehto puolittain vektorilla
θ ∗ tämä johtaa yhtälöön
E[U ′ (x ∗ )x ∗ ] = λ ∗ θ ∗ · P = λ ∗ W.
Olemme siis kyenneet osoittamaan seuraavan tuloksen:
Lause 1.4. (Salkun hinnoitteluyhtälö) Jos x ∗ = ∑ n
i=1 θ∗ i d i > 0 on salkun optimointiongelman ratkaisu,
niin
P k = E[U ′ (x ∗ )d k ]
E[U ′ (x ∗ )x ∗ ] W
kaikille k = 1,2,...,n.
Jos on olemassa riskitön sijoituskohde, jonka tuotto on r f , niin
P k = E[U ′ (x ∗ ) d k ]
E[U ′ (x ∗ )]r f
kaikille k = 1,2,...,n.
Erityisesti siis huomataan, että jos on olemassa riskitön sijoituskohde, jonka tuotto on r f , niin silloin
1.3.1 Sijoitusesimerkki
1
r f
= E[U ′ (x ∗ )]W
E[U ′ (x ∗ ) x ∗ ] .
Tarkastellaan seuraavan taulukon mukaista sijoitusesimerkkiä:
Tuotto
Todennäköisyys
Erinomainen d 1 p 1
Keskinkertainen d 2 p 2
Surkea d 3 p 3
Riskitön sijoitus r f 1
Oletetaan, että sijoittajan käytettävissä oleva pääoma on W. Tällöin riskiä kaihtavan sijoittajan optimointiongelma
on
max
θ∈R 2 E[U(θ 1R f + θ 2 d i )]
rajoitteena θ 1 + θ 2 P i = W. Optimointiongelman Lagrangen funktio on nyt
L(θ 1 ,θ 2 ,λ) = p 1 U(θ 1 r f + θ 2 d 1 ) + p 2 U(θ 1 r f + θ 2 d 2 ) + p 3 U(θ 1 r f + θ 2 d 3 ) + λ(W − θ 1 − θ 2 P i ),
jolloin optimaalisuusehdot tulevat muotoon
p 1 d 1 U ′ (θ 1 r f + θ 2 d 1 ) + p 2 d 2 U ′ (θ 1 r f + θ 2 d 2 ) + p 3 d 3 U ′ (θ 1 r f + θ 2 d 3 ) = λP i
p 1 r f U ′ (θ 1 r f + θ 2 d 1 ) + p 2 r f U ′ (θ 1 r f + θ 2 d 2 ) + p 3 r f U ′ (θ 1 r f + θ 2 d 3 ) = λ
θ 1 + θ 2 P i = W.
Oletetaan nyt, että sijoittajan hyötyfunktio on logaritminen eli U(x) = lnx. Tällöin kaksi ensimmäistä
optimaalisuusehtoa tulevat muotoon
p 1 (d 1 /P i )
+ p 2(d 2 /P i )
+ p 3(d 3 /P i )
θ 1 r f + θ 2 d 1 θ 1 r f + θ 2 d 2 θ 1 r f + θ 2 d 3
= λ
p 1 r f p 2 r f p 3 r f
+ +
θ 1 r f + θ 2 d 1 θ 1 r f + θ 2 d 2 θ 1 r f + θ 2 d 3
= λ,
13