Rahoituksen teoriaa ja sovelluksia aktuaareille (1 ... - Finanssivalvonta

atkaisu. Tämä geometrisen kasvun multiplikatiivinen dekomponointi deterministiseen geometriseen
kasvuun xe µt ja eksponentiaaliseen kohinaosaan M t on hyvin käyttökelpoinen ominaisuus monissa muissakin
yleisemmässä stokastisten differentiaaliyhtälöiden sovellutuksissa. Havainnollistetaan tätä esimerkillä.
Oletetaan, että prosessi X t määräytyy sdy:stä
dX t = µ(t,X t )X t dt + σ(t,X t )X t dW t , X 0 = x,
missä kuvaukset µ : R 2 + ↦→ R ja σ : R 2 + ↦→ R + oletetaan "riittävän" säännöllisiksi. Soveltamalla nyt taas
Itôn lausetta kuvaukseen x ↦→ lnx saadaan tulos X t = xe ∫ t
0 µ(s,Xs)ds M t , missä prosessi M t määräytyy
sdy:stä
dM t = σ(t,X t )M t dW t , M 0 = 1.
Geometrisella Brownin liikkeellä on monia hyviä ominaisuuksia, joista voimakas strukturaalinen stabiilisuus
on yksi. Täsmällisemmin ilmaistuna, tarkastellaan kuvausta f(x) = x α , missä α ∈ R on tunnettu.
Tällöin Itôn lauseen nojalla saadaan tulokseksi, että
dXt α =
(αµ + 1 )
2 α(α − 1)σ2 Xt α dt + ασXt α dW t , X0 α = x α .
on geometrinen Brownin liike. Edellä tehdyn analyysin nojalla huomataan eri-
Ts. myös prosessi Xt
α
tyisesti, että
jolloin siis
X n t = x n e n(µ−σ2 /2)t+nσW t
, n ∈ N,
E[X n t ] = E[x n e n(µ−σ2 /2)t+nσW t
] = x n e n(µ−σ2 /2)t E[e nσWt ].
On syytä huomata, että prosessi Y t = nσW t on normaalisti jakautunut keskiarvonaan 0 ja varianssinaan
n 2 σ 2 t (ts. Y t ∼ N(0,n 2 σ 2 t)). Koska N(0,γ 2 )-jakautuneen satunnaismuuttujan momentit generoiva
funktio on kuitenkin muotoa
F(s) = E[e −sx ] = e 1 2 s2 γ 2
huomataan, että
E[X n t ] = x n e n(µ−σ2 /2)t+n 2 σ 2 t/2 .
Erityisesti siis valitsemalla n = 1 saadaan tulokseksi E[X t ] = xe µt . Ts. geometrinen Brownin liike kasvaa
keskimäärin kuten tavanomainen geometrinen kasvu.
Esimerkki: (Riskienhallintaa) Oletetaan, että yrityksen varallisuudelle A t sekä vastuille L t pätee ehto
A t = A 0 e ZA t ja L t = L 0 e ZL t , missä Z
A
t ∼ N(µ A t,σA 2 t) ja ZL t ∼ N(µ L t,σL 2 t) ovat toisistaan satunnaisesti
riippuvia normaalisti jakautuneita satunnaismuuttujia, joille pätee ehto cov[Zt A ,Zt L ] = σ A σ L σ AL t. Annettuna
nämä oletukset tarkastellaan tapauksen A t ≥ (1+δ)L t todennäköisyyttä (ts. määritetään todennäköisyys,
että hetkellä t varat ylittävät vastuut reservin δL t verran). Varojen ja vastuiden määritelmästä
huomataan välittömästi, että
[ ] [ ( )]
At
(1 +
P[A t ≥ (1 + δ)L t ] = P ≥ 1 + δ = P Zt A − Zt L δ)L0
≥ ln
.
L t A 0
Koska erotukselle Zt A − Zt L kuitenkin pätee ehto Zt A − Zt L ∼ N ( (µ A − µ L )t,(σA 2 + σ2 L − 2σ Aσ L σ AL )t ) ,
huomataan, että
(
)
(µ A − µ L )t − ln ((1 + δ)L 0 /A 0 )
P[A t ≥ (1 + δ)L t ] = Φ √
(σ
2
A
+ σL 2 − 2σ .
Aσ L σ AL )t
Annettuna tämä todennäköisyys tarkastellaan nyt seuraava rahoituksen riskienhallinnan kannalta
keskeistä kysymystä:
Mikä varallisuus-vastuu-suhteen A t /L t tulee olla hetkellä 0, jotta varat A t ylittävät vastuut L t
reservin δL t verran hetkellä t todennäköisyydellä α?
41