Rahoituksen teoriaa ja sovelluksia aktuaareille (1 ... - Finanssivalvonta

Esimerkki: Tarkastellaan tilannetta, jossa päättäjän hyötyfunktio on logaritmista muotoa u(x) = lnx
ja w > qL. Tällöin kuvaukselle
pätevät ehdot
ja
f(z) = (1 − κ)ln(w − qz) + κ ln(w − L + z − qz)
f ′ (z) =
κ(1 − q) (1 − κ)q
−
w − L + (1 − q)z w − qz
f ′′ κ(1 − q) 2 (1 − κ)q2
(z) = −
−
(w − L + (1 − q)z)
2
(w − qz) 2 .
Erityisesti siis nähdään, että optimaalinen määrä vakuutusta on
z ∗ =
(κ − q)w
(1 − q)q + 1 − κ
1 − q L.
On syytä huomata, että edellä tarkasteltu malli olettaa, ettei taloudellinen päättäjä voi omilla toimillaan
tai käytöksellään vaikuttaa riskin realisoitumiseen. Ongelman yleistämiseksi oletetaan, että päättäjällä
on mahdollisuus vaikuttaa riskiin realisoitumistodennäköisyyteen κ valitsemalla rahayksiköissä
ilmaistu henkilökohtainen suojaus x, jolloin riskin realisoitumistodennäköisyys on siis κ(x). Mikäli
vakuutus- yhtiö pystyy havaitsemaan tämän henkilökohtaisen suojautumisen asteen generoiman riskin
realisoitumistodennäköisyyden κ(x) ja vakuutus on oikeudenmukainen eli q = κ(x), huomataan, että
päättäjän varallisuus tulee muotoon
{
w − x − κ(x)z tn:llä 1 − κ(x)
W =
w − L − x + z − κ(x)z tn:llä κ(x).
Annettuna nämä oletukset tulee päättäjän odotetun hyödyn maksimointiongelma muotoon
max [(1 − κ(x))u(w − x − κ(x)z) + κ(x)u(w − L − x + z − κ(x)z)].
(z,x)
Ensimmäisen kertaluvun optimaalisuusehdot ovat nyt muotoa
κ(x ∗ )(1 − κ(x ∗ ))[u ′ (w − L − x ∗ + z ∗ − κ(x ∗ )z ∗ ) − u ′ (w − x ∗ − κ(x ∗ )z ∗ )] = 0 (1)
κ ′ (x ∗ )(u(w 1 ) − u(w 2 )) − (1 + κ ′ (x ∗ )z ∗ )(κ(x ∗ )u ′ (w 1 ) + (1 − κ(x ∗ ))u ′ (w 2 )) = 0, (2)
missä w 1 = w − L − x + z − κ(x)z ja w 2 = w − x − κ(x)z. Optimaalisuusehdosta (1) seuraa suoraan, että
mikäli κ(x) ∈ (0,1) on täydellinen, on vakuuttaminen optimaalista. Ts. mikäli κ(x) ∈ (0,1), niin silloin
z ∗ = L, jolloin w 1 = w 2 . Sijoittamalla tämä tulos optimaalisuusehtoon (2) saadaan 1 + κ ′ (x ∗ )L = 0. Tuloksen
luonne muuttuu kuitenkin dramaattisesti, mikäli vakuuttaja ei kykene havainnoimaan täsmällisesti
riskin realisoitumistodennäköisyyttä κ(x) (katso esim. Laffont 1989, kappale 8).
1.2 Lineaarinen hinnoittelu ja arbitraasi
Ennen dynaamiseen valinnan teoriaan siirtymistä on tarkoituksenamme nyt kehittää yleinen hinnoitteluteoria
arbitraasivapauden vallitessa. Tätä tarkoitusta varten tarkastellaan yksinkertaista tilannetta,
jossa epävarmuus esitetään s:n vaihtoehtoisen tilan avulla (ns. äärellistilainen malli). Jos taloudessa on
n arvopaperia, niin niiden mahdollisia tuottoja kuvataan matriisilla
⎛
⎞
d 11 d 12 ... d 1s
d 21 d 22 ... d 2s
D =
⎜ .
.
. ..
. ..
∈ R n×s .
⎟
⎝ d n1 d n2 ... d ns
⎠
Ts. d ij voidaan tulkita i:nnen arvopaperin arvoksi tilassa j. Erityisesti siis tuottomatriisin D rivi
D k = (d k1 ,d k2 ,...,d ks ) voidaan tulkita k:nnen arvopaperin vaihtoehtoisten tuottojen generoimaksi vektoriksi.
Arvopaperisalkku (tai sijoitusportfolio) on vektori θ ∈ R n , jossa komponentilla θ i viitataan i:nnen
9