Rahoituksen teoriaa ja sovelluksia aktuaareille (1 ... - Finanssivalvonta

vakuutussopimuksen maturiteetti. Annettuna jono {τ k } säästävän vakuutussopimuksen arvo määräytyy
stokastisesta differenssiyhtälöstä
missä
ˆV τi = max(ρ τi ,R g )ˆV τi−1 + s τi , ˆVτ0 = v, (69)
ρ τi = S τ i
S τi−1
= e (r− 1 2 σ2 )(τ i−τ i−1)+σ( ˜W τi − ˜W τi−1 )
(70)
on kohde-etuuden kokonaistuotto yhden tarkasteluperiodin yli. Kertomalla yhtälö (69) puolittain diskonttaustekijällä
e −rτi saadaan tulokseksi
K τi = e −r(τi−τi−1) max(ρ τi ,R g )K τi−1 + e −rτi s τi , K τ0 = v, (71)
missä K τi = e −rτi ˆV τi . Ottamalla tästä yhtälöstä puolestaan odotusarvo puolittain ja soveltamalla ehdollisen
odotusarvon torniominaisuutta saadaan
E Q [K τi ] = E Q [e −r(τi−τi−1) max(ρ τi ,R g )K τi−1 ] + e −rτi s τi
= E Q [E Q [e −r(τi−τi−1) max(ρ τi ,R g )|F τi−1 ]K τi−1 ] + e −rτi s τi
= ˆM(τ i−1 ,τ i )E Q [K τi−1 ] + e −rτi s τi ,
missä
ˆM(τ i−1 ,τ i ) = e −r(τi−τi−1) R g Φ(−ζ(τ i−1 ,τ i )) + Φ(ζ(τ i−1 ,τ i ) + σ √ τ i − τ i−1 ) (72)
ja
ζ(τ i−1 ,τ i ) =
((
1
σ √ r − 1 )
)
τ i − τ i−1 2 σ2 (τ i − τ i−1 ) − lnR g . (73)
Tämän havainnon pohjalta voidaan iteroimalla osoittaa, että säästävän vakuutussopimuksen generoiman
vastuun käypä arvo on
( k
)
∏
k−1
∑
k−1
∏
E Q [e −rT ˆVT ] = ˆM(τ i−1 ,τ i ) v + e −rτj s τj
ˆM(τ i ,τ i+1 ). (74)
i=1
7.1.2 Useampipreemioinen sopimus
Edellisen kappaleen sopimuksissa preemio oli kertaluontoinen ja siten kappaleen tarkastelu ylenkatsoi
useamman periodin yli ulottuvien preemiovirtojen vaikutuksen vastuiden käypään arvoon. Yleistämisen
takia tarkastellaan nyt diskreetin preemiovirran omaavaa vakuutussopimusta, joka takaa kertaluontoisen
kohde-etuuden arvosta sekä ajanhetkestä riippuvan kuolemantapauskorvauksen C i (s) (jossa tyypillisesti
C i (s) ≤ C j (s) kun i ≤ j). Oletetaan myös, että {τ i } k i=0 on ennaltakäsin määritelty jono ajanhetkiä jolle
pätee 0 = τ 0 < τ 1 < · · · < τ k = T, missä T on tarkasteltavan vakuutussopimuksen maturiteetti. Tämän
vakuutussopimuksen generoimia kassavirtoja voidaan nyt kuvata seuraavalla tavalla:
j=1
i=j
Aika Preemiot Korvaukset
τ 0 π τ0 N 0 0
τ 1 π τ1 N τ1 C 1 (S τ1 )(N 0 − N τ1 )
τ 2 π τ2 N τ2 C 2 (S τ2 )(N τ1 − N τ2 )
.
.
τ k−1 π τk−1 N τk−1 C k−1 (S τk−1 )(N τk−2 − N τk−1 )
τ k 0 C k (S τk )(N τk−1 − N T )
Mikäli yllä esittämämme oletukset ovat voimassa, niin silloin vakuutussopimuksen generoiman konaistappion
nykyarvo on
k∑
k−1
∑
L T = e −rτi C i (S τi )(N τi−1 − N τi ) − e −rτi π τi N τi .
i=1
91
.
i=0