Rahoituksen teoriaa ja sovelluksia aktuaareille (1 ... - Finanssivalvonta

Ts. samahyötykäyrät ovat väheneviä (c 1 ,c 2 )-tasolla. Kuten aikaisemmin jo huomattiin, ovat indifferenssikäyrät
{(c 1 ,c 2 ) ∈ R 2 + : E[u(c 1 ,c 2 )] = m} konvekseja, sillä hyötyfunktion konkaavisuudesta seuraa,
että joukko {(c 1 ,c 2 ) ∈ R 2 + : E[u(c 1 ,c 2 )] ≥ m} on konveksi. Lisäksi joukko {(c 1 ,c 2 ) ∈ R 2 + : E[u(c 1 ,c 2 )] ≥
m} ⊆ {(c 1 ,c 2 ) ∈ R 2 + : u(c 1 ,E[c 2 ]) ≥ m}, joten huomataan, että indifferenssikäyrä on epävarmuuden vallitessa
korkeammalla kuin varmuuden vallitessa (siis kun verrataan keskimääräiseen tilaan). Optimaalisuusehdosta
seuraa, että epävarmuudenkin vallitessa optimaalinen kulutuspari löytyy siitä pisteestä, jossa
indifferenssikäyrä sivuaa budjettisuoraa. Määritellään kuvaus f : R ↦→ R seuraavalla tavalla:
f(c 1 ) = u(c 1 ,y 2 + (1 + r f )(y 1 − c 1 ))
ja oletetaan, että f(c 1 ) on aidosti konkaavi. Merkitään ĉ 1 :llä sitä kulutuksen tasoa, joka maksimoi odotetun
hyödyn varmuuden vallitessa, ts. silloin kun c 2 = ȳ 2 + (1 + r f )(y 1 − c 1 ). Tällöin kuvauksen f(c 1 )
konkaavisuudesta seuraa, että
E[(f ′ (ĉ 1 ) − f ′ (c ∗ 1))(ĉ 1 − c ∗ 1)] < 0.
Sieventämällä saadaan
josta seuraa suoraan, että
E[f ′ (ĉ 1 )(ĉ 1 − c ∗ 1)] < E[f ′ (c ∗ 1)(ĉ 1 − c ∗ 1)] = (ĉ 1 − c ∗ 1)E[f ′ (c ∗ 1)] = 0,
E[f ′ (ĉ 1 )](ĉ 1 − c ∗ 1) < 0,
sillä ĉ 1 ja c ∗ 1 ovat vakioita. Valitettavasti tästä ei vielä seuraa riskin ja kulutuksen välinen negatiivinen
suhde vaan kyseisen ominaisuuden osoittamiseksi on tehtävä joitakin lisäoletuksia. Täsmällisemmin
ilmaistuna, mikäli kuvaus
A(c 1 ,c 2 ) = u c 1c 2
(c 1 ,c 2 ) − (1 + r)u c2c 2
(c 1 ,c 2 )
u c2 (c 1 ,c 2 )
on vähenevä, niin silloin voidaan osoittaa, että kasvanut epävarmuus pienentää ensimmäisen periodin
kulutusta ja siten kasvattaa päättäjän säästämistä. Ts. mikäli kuvaus A(c 1 ,c 2 ) on vähenevä, niin optimaalinen
ensimmäisen periodin kulutus on tuloriskin vähenevä funktio ja siten ensimmäisen periodin
säästämispäätös on tuloriskin kasvava funktio. Voidaan siis perustellusti sanoa, että kasvanut tuloriski
kasvattaa riskiä kaihtavan sijoittajan turvaavan säästämisen insentiivejä (precautionary saving).
Osoitetaan tämän väitteen paikkansapitävyys yksinkertaisemmassa tapauksessa, jossa hyötykuvaus
u(c 1 ,c 2 ) on separoituva siten, että se voidaan esittää muodossa
u(c 1 ,c 2 ) = u 1 (c 1 ) + u 2 (c 2 ),
missä kuvaukset u 1 : R ↦→ R ja u 2 : R ↦→ R ovat monotonisesti kasvavia ja aidosti konkaaveja. Oletetaan
lisäksi, että toisen periodin hyötyfunktion absoluuttisen riskinkaihtamisen kerroin
A(c 2 ) = − u′′ 2(c 2 )
u ′ 2 (c 2)
on vähenevä.
Koska tarkoituksenamme on tarkastella kasvaneen epävarmuuden vaikutusta ensimmäisen periodin
optimaaliseen kulutukseen, esitetään toisen periodin tulot muodossa αy 2 + β, jossa paramerit α ja β
toteuttavat ehdon dβ
dα = −E[y 2].Tämän ehdon vallitessa parametrin α kasvu kasvattaa vain varianssia
säilyttämällä keskiarvon muuttumattomana, sillä silloin
∂
∂α [αE[y 2] + β] = 0
ja
∂ [
α 2 var[y 2 ] ] = 2α var[y 2 ] > 0.
∂α
Optimiehto voidaan nyt esittää muodossa
u ′ 1(c ∗ 1) = (1 + r)E[u ′ 2(αy 2 + β + (1 + r)(y 1 − c ∗ 1))].
17