PDF, 216 kB - Lahti

Luku 1 

Matematiikka 

Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää 

ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen tehtävänä 

on tutustuttaa opiskelija matemaattisen ajattelun malleihin sekä matematiikan 

perusideoihin ja rakenteisiin, opettaa käyttämään puhuttua ja kirjoitettua 

matematiikan kieltä sekä kehittää laskemisen ja ongelmien ratkaisemisen taitoja. 

Matematiikan opetustilanteet järjestetään siten, että ne herättävät opiskelijan tekemään 

havaintojensa pohjalta kysymyksiä, oletuksia ja päätelmiä sekä perustelemaan 

niitä. Erityisesti opiskelijaa ohjataan hahmottamaan matemaattisten käsitteiden 

merkityksiä ja tunnistamaan, kuinka ne liittyvät laajempiin kokonaisuuksiin. 

Opiskelijaa myös kannustetaan kehittämään luovia ratkaisuja matemaattisiin ongelmiin. 

Opetuksessa tutkitaan matematiikan ja arkielämän välisiä yhteyksiä sekä 

tietoisesti käytetään eteen tulevia mahdollisuuksia opiskelijan persoonallisuuden 

kehittämiseen, mikä tarkoittaa muun muassa hänen kiinnostuksensa ohjaamista, 

kokeiluihin kannustamista sekä tiedonhankintaprosessien kehittämistä. 

Kurssikuvausten väljyyttä voidaan käyttää resurssien salliessa keskeisten sisältöjen 

syventämiseen ja eheyttävien kokonaisuuksien muodostamiseen. 

Työtapoina käytetään opettajajohtoista, itsenäistä ja ryhmätyöskentelyä. Tieto-

LUKU 1. MATEMATIIKKA 2 

tekniikkaa ja laskimia hyödynnetään soveltuvin osin. Kansainvälisiä yhteistyöprojekteja 

voidaan hyödyntää matematiikan opetuksessa. Yhteistyöstä sovitaan 

yksityiskohtaisemmin koulukohtaisissa suunnitelmissa vuosittain. Yhteistyöprojektien 

tavoitteena on myös muiden oppiaineiden integrointi. 

1.1 Arviointi 

Matematiikan opetuksessa arvioinnin tulee kehittää opiskelijan kykyä esittää ratkaisuja, 

tukea opiskelijaa matemaattisten käsitteiden muodostamisprosessissa ja 

arvioida kirjallista esitystä sekä opettaa opiskelijalle oman työnsä arvioimista. 

Osaamisen arvioinnissa kiinnitetään huomio laskutaitoon, menetelmien valintaan 

ja päätelmien täsmälliseen ja johdonmukaiseen perustelemiseen. 

Arviointiin vaikuttavat pääsääntöisesti tuntiaktiivisuus, harrastuneisuus ja kurssikoe. 

Kurssikokeen lisäksi tai asemasta arviointi voi perustua myös muuhun kurssin 

aikana esitettyyn näyttöön. Kurssin itsenäisestä suorituksesta neuvotellaan erikseen 

kurssikohtaisesti. 

1.2 Oppimäärän vaihtaminen 

Matematiikan oppimäärää vaihdettaessa pitkästä lyhyeen suositellaan hyväksi lukemisessa 

seuraavia vastaavuuksia: MAA1 → MAB1, MAA3 → MAB2, MAA6 

→ MAB5, MAA7 → MAB4 ja MAA8 → MAB3. Opetussuunnitelmassa voidaan 

määrätä myös lisänäyttöjä etenkin kurssin arvosanaa uudelleen arvioitaessa.

Luku 2 

Matematiikan pitkä oppimäärä 

Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset 

valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. 

Pitkän matematiikan opinnoissa opiskelijalla on tilaisuus omaksua matemaattisia 

käsitteitä ja menetelmiä sekä oppia ymmärtämään matemaattisen tiedon 

luonnetta. Opetus pyrkii myös antamaan opiskelijalle selkeän käsityksen matematiikan 

merkityksestä yhteiskunnan kehityksessä sekä sen soveltamismahdollisuuksista 

arkielämässä, tieteessä ja tekniikassa. 

2.1 Opetuksen tavoitteet 

Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija 

• tottuu pitkäjänteiseen työskentelyyn ja oppii sitä kautta luottamaan omiin 

matemaattisiin kykyihinsä, taitoihinsa ja ajatteluunsa, 

• rohkaistuu kokeilevaan ja tutkivaan toimintaan, ratkaisujen keksimiseen sekä 

niiden kriittiseen arviointiin, 

• ymmärtää ja osaa käyttää matematiikan kieltä, kuten seuraamaan matemaattisen 

tiedon esittämistä, lukemaan matemaattista tekstiä, keskustele-

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4 

maan matematiikasta, ja oppii arvostamaan esityksen täsmällisyyttä ja perustelujen 

selkeyttä, 

• oppii ratkaisujen ja todistusten täsmällisen esitystavan, 

• oppii näkemään matemaattisen tiedon loogisena rakenteena ja ymmärtämään 

kokonaisuuksia, 

• kehittää lausekkeiden käsittely-, päättely- ja ongelmanratkaisutaitojaan, 

• harjaantuu käsittelemään tietoa matematiikalle ominaisella tavalla, tottuu 

tekemään otaksumia, tutkimaan niiden oikeellisuutta ja laatimaan perusteluja 

sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä, 

• harjaantuu mallintamaan käytännön ongelmatilanteita ja hyödyntämään erilaisia 

ratkaisustrategioita, 

• osaa käyttää tarkoituksenmukaisia matemaattisia menetelmiä, teknisiä apuvälineitä 

ja tietolähteitä, 

• saavuttaa jatko-opinnoissa (erityisesti teknisillä aloilla) tarvittavat valmiudet.


2.2 Pakolliset kurssit 

Pakolliset kurssit tulee pääsääntöisesti suorittaa numerojärjestyksessä. 

2.2.1 Funktiot ja yhtälöt (MAA1) 

Tavoitteet 

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija 

• vahvistaa yhtälön ratkaisemisen ja prosenttilaskennan taitojaan, 

• syventää verrannollisuuden, neliöjuuren ja potenssin käsitteiden ymmärtämistään, 

• tottuu käyttämään neliöjuuren ja potenssin laskusääntöjä, 

• syventää funktiokäsitteen ymmärtämiseen tutkimalla potenssi- ja eksponenttifunktioita, 

• oppii ratkaisemaan potenssiyhtälöitä, 

• oppii laskimen peruskäytön. 

Keskeiset sisällöt 

Potenssifunktio, potenssiyhtälön ratkaiseminen, juuret ja murtopotenssi, eksponenttifunktio 

Muita mahdollisia sisältöjä 

Lukujoukot, prosentti, lineaarisen yhtälön ratkaisu, verranto


2.2.2 Polynomifunktiot (MAA2) 

Tavoitteet 


• harjaantuu käsittelemään polynomifunktioita, 

• oppii ratkaisemaan toisen asteen polynomiyhtälöitä ja tutkimaan ratkaisujen 

lukumäärää, 

• oppii ratkaisemaan korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, jotka voidaan 

ratkaista ilman polynomien jakolaskua, 

• oppii ratkaisemaan yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä, 

• oppii soveltamaan käytäntöön polynomiyhtälöitä ja -epäyhtälöitä. 


Polynomien tulo ja binomikaavat, polynomifunktio, toisen ja korkeamman asteen 

polynomiyhtälöitä, toisen asteen yhtälön juurten lukumäärän tutkiminen, toisen 

asteen polynomin jakaminen tekijöihin, polynomiepäyhtälön ratkaiseminen


2.2.3 Geometria (MAA3) 

Tavoitteet 


• harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa 

sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa, 

• harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa 

käsitteleviä lauseita, 

• ratkaisee geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden 

ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen 

kolmion trigonometriaa. 


Kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus, mittakaava, sini- ja kosinilause, ympyrän, 

sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria, kuvioihin ja kappaleisiin 

liittyvien pituuksien, kulmien ja pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 


Geometrinen todistaminen


2.2.4 Analyyttinen geometria (MAA4) 

Tavoitteet 


• ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten 

käsitteiden välille, 

• ymmärtää pistejoukon yhtälön käsitteen ja oppii tutkimaan yhtälöiden avulla 

pisteitä, suoria, ympyröitä ja paraabeleja, 

• syventää itseisarvokäsitteen ymmärtämystään ja oppii ratkaisemaan sellaisia 

itseisarvoyhtälöitä ja vastaavia epäyhtälöitä, jotka ovat tyyppiä |f(x)| = a 

tai |f(x)| = |g(x)|, 

• vahvistaa yhtälöryhmän ratkaisemisen taitojaan. 


Pistejoukon yhtälö, suoran, ympyrän, ja paraabelin yhtälö, itseisarvoyhtälön ja 

epäyhtälön ratkaiseminen, yhtälöpari ja sen sovelluksia, yhtälöryhmän ratkaiseminen, 

pisteen etäisyys suorasta 


Kahden muuttujan epäyhtälön ja epäyhtälöryhmän ratkaisu, optimointi


2.2.5 Vektorit (MAA5) 

Tavoitteet 


• ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin, 

• oppii tutkimaan kuvioiden ominaisuuksia vektoreiden avulla, 

• tutkii kaksi- ja kolmiulotteisten koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia 

vektoreiden avulla. 


Vektorien perusominaisuudet, kantavektorit, vektorien yhteen- ja vähennyslasku ja 

vektorin kertominen luvulla, koordinaatiston vektoreiden, skalaaritulo, vektorien 

välinen kulma, suorat ja tasot avaruudessa 


Geometriset ja fysiikan sovelluksia


2.2.6 Todennäköisyys ja tilastot (MAA6) 

Tavoitteet 


• oppii havainnollistamaan diskreettejä ja jatkuvia tilastollisia jakaumia, arvioimaan 

tilastoja kriittisesti sekä määrittämään ja tulkitsemaan jakaumien 

tunnuslukuja, 

• perehtyy kombinatorisiin menetelmiin, 

• harjaantuu käyttämään laskimen tilastollisia ominaisuuksia, 

• ymmärtää tilastojen merkityksen ilmiöiden kuvaamisessa ja sattuman vaikutuksen 

tapahtumiin, 

• perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja oppii määrittämään jakauman 

odotusarvon sekä soveltamaan sitä, 

• ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään 

jakauman odotusarvon sekä soveltamaan sitä, 

• perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan 

normaalijakaumaa. 


Diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma, jakauman tunnusluvut, klassinen ja 

tilastollinen todennäköisyys, kombinatoriikka, todennäköisyyksien laskusäännöt, 

diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma, diskreetin jakauman odotusarvo, normaalijakauma


2.2.7 Derivaatta (MAA7) 

Tavoitteet 


• osaa määrittää rationaalifunktion nollakohdat ja ratkaista yksinkertaisia rationaaliepäyhtälöitä, 

• omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja 

derivaatasta, 

• määrittää yksinkertaisten funktioiden derivaatat, 

• osaa tutkia derivaatan avulla polynomifunktion kulkua ja määrittää sen ääriarvot, 

• osaa määrittää rationaalifunktion suurimman ja pienimmän arvon sovellusongelmien 

yhteydessä, 

• oppii soveltamaan derivaattaa käytäntöön. 


Rationaaliyhtälö ja -epäyhtälö, funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta, polynomifunktion, 

funktioiden tulon ja osamäärän derivoiminen, polynomifunktion 

kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen 


Rationaalifunktioiden määrittely- ja arvojoukot , suoran kulmakertoimen ja nopeuden 

yhteys derivaattaan, korkeamman asteen derivaatat


2.2.8 Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) 

Tavoitteet 


• tuntee juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista 

niihin liittyviä yhtälöitä, 

• tutkii juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioita derivaatan avulla, 

• oppii yhdistetyn funktion derivaatan, 

• tutkii aidosti monotonisen funktion käänteisfunktioita. 


Juurifunktiot ja -yhtälöt, eksponenttifunktiot ja -yhtälöt, logaritmifunktiot ja - 

yhtälöt, yhdistetyn funktion derivaatta, käänteisfunktio ja sen derivaatta, juuri-, 

eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatta


2.2.9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) 

Tavoitteet 


• oppii tutkimaan trigonometrisia funktioita yksikköympyrän symmetrioiden 

avulla, 

• oppii ratkaisemaan sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä 

sinf(x) = a tai sinf(x) = sing(x), 

• osaa trigonometristen funktioiden yhteydet sin 2 x+cos 2 x = 1 ja tanx = sinx 

cosx , 

• tutkii trigonometrisia funktioita derivaatan avulla, 

• ymmärtää lukujonon käsitteen, 

• oppii määrittelemään lukujonoja palautuskaavojen avulla, 

• osaa ratkaista käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja niistä 

muodostettujen summien avulla. 


Suunnattu kulma ja radiaani, trigonometriset funktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen, 

trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen, trigonometristen funktioiden 

derivaatat, lukujono, rekursiivinen lukujono, aritmeettinen jono ja summa, 

geometrinen jono, summa 


Yksinkertaisia trigonometrisia laskukaavoja, matemaattinen induktio


2.2.10 Integraalilaskenta (MAA10) 

Tavoitteet 


• ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään alkeisfunktioiden 

integraalifunktioita, 

• ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan, 

• oppii määrittämään pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla, 

• perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin. 


Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integraalifunktiot, määrätty integraali, pintaalan 

ja tilavuuden laskeminen 


Tiheysfunktio ja kertymäfunktio


2.3 Valtakunnalliset syventävät kurssit 

2.3.1 Lukuteoria ja logiikka (MAA11) 

Edellyttää kurssien MAA1 ja MAA2 sisältöjen hallintaa. 

Tavoitteet 


• oppii formalisoimaan väitelauseita ja tutkimaan niiden totuusarvoja totuustaulujen 

avulla, 

• ymmärtää avoimen lauseen käsitteen ja oppii käyttämään kvanttoreita, 

• oppii todistusperiaatteita ja harjoittelee todistamista, 

• oppii lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin, 

• osaa, 

• tutkia kokonaislukujen jaollisuutta jakoyhtälön ja kokonaislukujen kongruenssin 

avulla 

• osaa määrittää kokonaislukujen suurimman yhteisen tekijän Eukleideen algoritmilla. 


Lauseen formalisoiminen, lauseen totuusarvot, avoin lause, kvanttorit, suora, käänteinen 

ja ristiriitatodistus, kokonaislukujen jaollisuus ja jakoyhtälö, Eukleideen algoritmi, 

alkuluvut, aritmetiikan peruslause, kokonaislukujen kongruenssi



Lukujärjestelmät


2.3.2 Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä (MAA12) 

Edellyttää kurssin MAA7 sisältöjen hallintaa. 

Tavoitteet 


• oppii ymmärtämään absoluuttisen ja suhteellisen virheen käsitteet ja niiden 

avulla likiarvolaskujen tarkkuutta koskevat säännöt peruslaskutoimitusten 

tapauksessa, 

• ymmärtää iteroinnin käsitteen ja oppii ratkaisemaan yhtälöitä numeerisesti, 

• oppii tutkimaan polynomien jaollisuutta ja määrittämään polynomin tekijät, 

• oppii algoritmista ajattelua, 

• harjaantuu käyttämään nykyaikaisia matemaattisia välineitä, 

• oppii määrittämään numeerisesti muutosnopeutta ja pinta-alaa. 


Absoluuttinen ja suhteellinen virhe, Newtonin menetelmä ja iterointi, polynomien 

jakoalgoritmi, polynomien jakoyhtälö, muutosnopeus ja pinta-ala


2.3.3 Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi (MAA13) 

Edellyttää kaikkien pakollisten kurssien sisältöjen hallintaa. 

Tavoitteet 


• syventää differentiaali- ja integraalilaskennan teoreettisten perusteiden tuntemustaan, 

• täydentää integraalilaskennan taitojaan ja soveltaa niitä muun muassa jatkuvien 

todennä-köisyysjakaumien tutkimiseen, 

• tutkii lukujonon raja-arvoa, sarjoja ja niiden summia. 


Funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen, jatkuvien ja derivoituvien 

funktioiden yleisiä ominaisuuksia, funktioiden ja lukujonojen raja-arvot äärettömyydessä, 

epäoleelliset integraalit 


Murtofunktioiden asymptootit, kuvaajia, yksinkertaisia differentiaaliyhtälöitä


2.4 Koulukohtaiset syventävät kurssit 

2.4.1 Kohti ylioppilaskirjoituksia 1 (MAA14) 

Tavoitteet 


• kertaa pakollisten kurssien keskeiset sisällöt, 

• saa kokonaiskuvan pakollisten kurssien tarjoamista matemaattisista menetelmistä, 

• saavuttaa menetelmällisen varmuuden erityyppisten ongelmien ratkaisemiseksi. 


Pakollisten kurssien ydinkohtien kertaus, vanhojen ylioppilastehtävien ratkaiseminen


2.4.2 Talousmatematiikka (MAA16) 

Kurssi on sama kuin MAB7. 

Tavoitteet 


• oppii ymmärtämään talouselämässä käytettyjä käsitteitä, 

• saa matemaattisia valmiuksia oman taloutensa suunnitteluun, 

• saa laskennallisen pohjan yrittäjyyden ja taloustiedon opiskeluun, 

• soveltaa tilastollisia menetelmiä aineistojen käsittelyyn. 


Indeksi-, kustannus-, rahaliikenne-, laina-, verotus- ja muita laskelmia, taloudellisiin 

tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja lukujonojen ja summien avulla 


Prosenttikäsitteen syventäminen


2.4.3 Kompleksiluvut ja differentiaaliyhtälöt (MAA21) 

Tavoitteet 


• omaksuu kompleksilukujen algebralliset ominaisuudet, 

• oppii käsittelemään kompleksilukulausekkeita, 

• osaa ratkaista erityyppisiä yhtälöitä kompleksitasossa, 

• oppii ratkaisemaan separoituvia ja 1. kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, 

• osaa ratkaista differentiaaliyhtälöihin johtavia käytännön ongelmia, 

• perehtyy vektorituloon ja skalaarikolmituloon, 

• oppii käyttämään vektori- ja skalaarikolmituloa mm. pinta-alojen ja tilavuuksien 

määrityksissä. 


Kompleksiluvut tason pisteinä ja vektoreina, kompleksilukujen laskutoimitukset, 

liittoluku, yhtälöiden ratkaiseminen kompleksitasossa, separoituvat differentiaaliyhtälöt, 

1. kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt, vektoritulo, skalaarikolmitulo


2.4.4 Avaruusgeometria (MAA22) 

Tavoitteet 


• oppii määrittämään avaruuskulmia, 

• tuntee tavanmukaiset kappaleet ja osaa määrittää niiden osien pituuksia, 

pinta-aloja ja tilavuuksia, 

• perehtyy katkaistuun kartioon, pallosektoriin, pallosegmenttiin, kalottiin, vyöhykkeeseen 

ja Platonin monitahokkaisiin ja hallitsee niiden osien pituuksien, 

alojen ja tilavuuksien määrityksen, 

• oppii ratkaisemaan avaruusgeometrisia ääriarvo-ongelmia. 


Kulma avaruudessa, katkaistu kartio, pallosektori ja -segmentti, kalotti ja vyöhyke, 

Platonin monitahokkaat, ääriarvotehtäviä avaruudessa


2.4.5 Lineaarialgebra (MAA23) 

Tavoitteet 


• tuntee matriisin käytön numeerisen aineiston esitysmuotona, 

• oppii matriisien peruslaskutoimitukset, 

• hallitsee käänteismatriisin määrityksen, 

• oppii ratkaisemaan yhtälöryhmiä Gaussin ja Gaussin-Jordanin menetelmillä, 

• perehtyy vektoriavaruuden ja aliavaruuden käsitteisiin. 


Matriisien peruslaskutoimitukset, käänteismatriisi, Gaussin eliminointimenetelmä, 

Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmä, vektoriavaruus ja aliavaruus


2.4.6 Topologia (MAA24) 

Kurssi on tarkoitettu vain matemaattis-luonnontieteellisen linjan opiskelijoille. 

Tavoitteet 


• tutustuu reaalilukujen ja tason topologisiin perussuureisiin, 

• omaksuu avoimen ja suljetun joukon sekä ympäristön käsitteet, 

• oppii määrittämään reaaliluku- ja tason joukkojen sisä-, ulko- ja reunapisteitä 

sekä sulkeumia, 

• sisäistää topologisen avaruuden yleistyksen, 

• oppii topologisten perussuureiden määritelmät yleisissä topologisissa avaruuksissa. 


Topologinen avaruus, avoimet ja suljetut joukot, ympäristö, sisä-, ulko- ja reunapiste, 

sulkeuma, reaalilukujen topologiaa, tason topologiaa


2.4.7 Algebra (MAA25) 

Kurssi on tarkoitettu vain matemaattis-luonnontieteellisen linjan opiskelijoille 

Tavoitteet 


• syventää funktio-käsitteen tuntemustaan algebrallisesta näkökulmasta relaatiokäsitteestä 

lähtien 

• oppii tunnistamaan erityyppisiä funktioita (surjektio, injektio, bijektio) 

• oppii vertaamaan äärettömien joukkojen kokoja 

• omaksuu ryhmän ja renkaan käsitteet 


Relaatio, ekvivalenssirelaatio, funktio, surjektio, injektio, bijektio, mahtavuus, ryhmä, 

rengas


2.5 Soveltavat kurssit 

2.5.1 Laskuharjoituskurssi 1 (MAA18) 

Pituus on puoli kurssia (kymmenen 75 minuutin oppituntia), toteutus kuukauden 

intensiivikurssina 1. jakson puolivälistä eteenpäin. Arvostellaan suoritusmerkinnällä. 

Kurssi on tarkoitettu lähinnä niille, joiden peruskoulun matematiikan arvosana 

on korkeintaan kahdeksan. 

Tavoitteet 


• kertaa keskeisiä peruskoulun matematiikan sisältöjä, 

• saa paremmat valmiudet aloittaa lukion pitkän matematiikan opiskelu. 


Murtoluvut, potenssilaskenta, polynomit, muistikaavat, 1. asteen yhtälöt, prosenttilaskentaa



Kurssista annetaan suoritusmerkintä 

Tavoitteet 


• saa mahdollisuuden ohjattuun lisäharjoitteluun, 

• kehittää lasku- ja ongelmanratkaisutaitoaan 

• harjaantuu käyttämään ja soveltamaan meneillään olevalla kurssilla esitettyjä 

matemaattisia menetelmiä 


Kursseihin Todennäköisyys ja tilastot, Derivaatta, Juuri- ja logaritmifunktiot, Trigonometriset 

funktiot ja lukujonot ja Integraalilaskenta liittyvien tehtävien ratkaiseminen




Tavoitteet 


• kehittää lasku- ja ongelmanratkaisutaitoaan, 

• perehtyy ylioppilastehtäviin, 

• oppii käyttämään joustavasti erilaisia menetelmiä ongelmien ratkaisussa, 

• kertaa ja saa kokonaiskuvan pakollisten kurssien sisältämistä menetelmistä. 


aikaisempien vuosien ylioppilastehtävien ratkaiseminen

Luku 3 

Matematiikan lyhyt oppimäärä 

Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, 

käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän 

eri tilanteissa ja jatko-opinnoissa. 

3.1 Opetuksen tavoitteet 

Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija 

• osaa käyttää matematiikkaa jokapäiväisen elämän ja yhteiskunnallisen toiminnan 

apuvälineenä, 

• saa myönteisiä oppimiskokemuksia matematiikan parissa työskennellessään 

ja oppii luottamaan omiin kykyihinsä, taitoihinsa ja ajatteluunsa, rohkaistuu 

kokeilevaan, tutkivaan ja keksivään oppimiseen, 

• oppii yhteistyöhön muiden opiskelijoiden kanssa sekä itsenäiseen työskentelyyn, 

• hankkii sellaisia matemaattisia tietoja, taitoja ja valmiuksia, jotka antavat 

riittävän pohjan jatko-opinnoille,

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 30 

• oppii laskemisen perusrutiineja, 

• sisäistää matematiikan merkityksen välineenä, jolla ilmiöitä voidaan kuvata, 

selittää ja mallintaa ja jota voidaan käyttää johtopäätösten tekemisessä, 

• saa käsityksen matemaattisen tiedon luonteesta ja sen loogisesta rakenteesta, 

• harjaantuu vastaanottamaan ja analysoimaan viestimien matemaattisessa 

muodossa tarjoamaa informaatioita ja arvioimaan sen luotettavuutta, 

• oppii laskimen peruskäytön, 

• tutustuu matematiikan merkitykseen kulttuurin kehityksessä, 

• osaa hahmottaa tehtävän annosta ratkaisun kannalta olennaiset seikat, 

• oppii käyttämään kuvioita, kaavioita ja malleja ajattelun apuna, sekä esittämään 

tehtävän ratkaisun.


3.2 Pakolliset kurssit 

3.2.1 Lausekkeet ja yhtälöt (MAB1) 

Tavoitteet 


• harjaantuu käyttämään matematiikkaa jokapäiväisen elämän ongelmien ratkaisemisessa 

ja oppii luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä, 

• ymmärtää lineaarisen riippuvuuden, verrannollisuuden ja toisen asteen polynomifunktion 

käsitteet, 

• vahvistaa yhtälöiden ratkaisemisen taitojaan ja oppii ratkaisemaan toisen 

asteen yhtälöitä. 


Suureiden välinen lineaarinen riippuvuus ja verrannollisuus, ongelmien muotoileminen 

yhtälöiksi, yhtälöiden graafinen ja algebrallinen ratkaiseminen, ratkaisujen 

tulkinta ja arvioiminen, toisen asteen polynomifunktio ja toisen asteen yhtälön 

ratkaiseminen 


Prosenttilaskentaa, polynomien peruslaskutoimitukset, murtoluvut, potenssit


3.2.2 Geometria (MAB2) 

Tavoitteet 


• harjaantuu tekemään havaintoja ja päätelmiä kuvioiden ja kappaleiden geometrisista 

ominaisuuksista, 

• vahvistaa tasokuvioiden ja kolmiulotteisten kappaleiden kuvien piirtämisen 

taitojaan, 

• osaa ratkaista käytännön ongelmia geometriaa hyväksi käyttäen. 


Kuvioiden yhdenmuotoisuus, mittakaava, suorakulmaisen kolmion trigonometria, 

Pythagoraan lause, kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen, 

menetelmien käyttö geometrian koordinaatistossa 


Yksikkömuunnoksia, taitojen soveltaminen käytännön ongelmissa


3.2.3 Matemaattisia malleja I (MAB3) 

Tavoitteet 


• näkee reaalimaailman ilmiöissä säännönmukaisuuksia ja riippuvuuksia ja kuvaa 

niitä matemaattisilla malleilla, 

• tottuu arvioimaan mallien hyvyyttä ja käyttökelpoisuutta. 


Lineaarisen ja eksponentiaalisen mallin soveltaminen sekä mallien kuvaajat, potenssiyhtälön 

ratkaiseminen, eksponenttiyhtälön ratkaiseminen logaritmin avulla 


Suoran kulmakerroin ja yhtälö, epäyhtälö , yhtälöpari


3.2.4 Matemaattinen analyysi (MAB4) 

Tavoitteet 


• tutkii funktion muutosnopeutta graafisin ja numeerisin menetelmin, 

• ymmärtää derivaatan käsitteen muutosnopeuden mittana, 

• osaa tutkia polynomifunktion kulkua derivaatan avulla, 

• oppii sovellusten yhteydessä määrittämään polynomifunktion suurimman ja 

pienimmän arvon. 


Polynomifunktion derivaatta, polynomifunktion merkin ja kulun tutkiminen, paraabeli, 

polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon määrittäminen, graafisia 

ja numeerisia menetelmiä 


Tangentin kulmakerroin, kuvaajien tulkintaa , soveltavia tehtäviä


3.2.5 Tilastot ja todennäköisyys (MAB5) 

Tavoitteet 


• harjaantuu käsittelemään ja tulkitsemaan tilastollisia aineistoja, 

• tutustuu laskinten ja tietokoneiden käyttöön tilastotehtävissä , 

• perehtyy todennäköisyyslaskennan perusteisiin. 


Jatkuvien ja diskreettien tilastollisten jakaumien tunnuslukujen määrittäminen, 

diagrammit, normaalijakauma ja jakauman normittaminen, kombinatoriikkaa, todennäköisyyden 

käsite, todennäköisyyden laskulakien ja niitä havainnollistavien 

mallien käyttöä 


Tilastollisen aineiston kokoaminen, käsitteleminen ja tulkitseminen, binomitodennäköisyys, 

laskimen käyttö


3.2.6 Matemaattisia malleja II (MAB6) 

Tavoitteet 


• varmentaa ja täydentää yhtälöiden ratkaisutaitojaan, 

• osaa ratkaista käytännön tilanteisiin liittyviä lineaarisia optimointitehtäviä, 

• ymmärtää lukujonon käsitteen, 

• ratkaisee käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja summan 

avulla. 


Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt, lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen, kahden 

muuttujan epäyhtälön graafinen ratkaiseminen, lineaarinen optimointi, lukujono, 

aritmeettinen ja geometrinen jono ja summa 


Yhtälöryhmät, soveltavat tehtävät


3.3 Valtakunnalliset syventävät kurssit 

3.3.1 Talousmatematiikka (MAB7) 

Tavoitteet 


• oppii ymmärtämään talouselämässä käytettyjä käsitteitä, 

• saa matemaattisia valmiuksia oman taloutensa suunnitteluun, 

• saa laskennallisen pohjan yrittäjyyden ja taloustiedon opiskeluun, 

• soveltaa tilastollisia menetelmiä aineistojen käsittelyyn. 


Indeksi-, kustannus-, rahaliikenne-, laina-, verotus- ja muita laskelmia, taloudellisiin 

tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja lukujonojen ja summien avulla 


Prosenttikäsitteen syventäminen


3.3.2 Matemaattisia malleja III (MAB8) 

Tavoitteet 


• laajentaa käsitystään teknologisoituvassa yhteiskunnassa tarvittavasta matematiikasta, 

• saa apuneuvoja jaksollisten ilmiöiden matemaattiseen käsittelyyn. 


Trigonometristen funktioiden määrittely yksikköympyrän avulla, radiaani, tyyppiä 

sinf(x) = a olevien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen, muotoa f(x) = 

Asin(bx) olevien funktioiden kuvaajat jaksollisten ilmiöiden mallintajina, vektorin 

käsite ja vektoreiden peruslaskutoimitusten periaatteet, koordinaatiston vektoreiden 

komponenttiesitys ja skalaaritulo, kaksi- ja kolmiulotteisen koordinaatiston 

pisteiden ja kulmien tutkiminen vektoreiden avulla 


Sini- ja kosinilause


3.4 Koulukohtaiset syventävät kurssit 

3.4.1 Kertauskurssi (MAB9) 

Tavoitteet 


• kertaa pakollisten kurssien keskeiset sisällöt, 

• saa kokonaiskuvan kusseista ja matemaattisista menetelmistä, 

• harjaantuu yo-kirjoituksiin. 


Prosenttilaskenta, yhtälöt ja epäyhtälöt, taso- ja avaruusgeometria, lineaarinen ja 

eksponentiaalinen malli, derivaatta ja sen sovellukset, lukujonot ja niiden sovellukset, 

tilastotieteen ja todennäköisyyslaskennan menetelmät


3.4.2 Laskuharjoituskurssi (MAB10) 


Tavoitteet 


• saa mahdollisuuden ohjattuun lisäharjoitteluun, 

• kehittää lasku- ja ongelmanratkaisutaitojaan. 


Kurssien ydinkohdat

PDF, 216 kB - Lahti

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?