Johdatus insinöörimatematiikkaan - SAMK

’
Esimerkki. Seuraavassa sievennettävään lausekkeeseen lisätään ensin selventävät
kertomerkit ja sitten lausekkeen arvo lasketaan sovitussa järjestyksessä alleviivaten
aina seuraavaksi laskettava osalauseke:
3 3
2 − 6 /(7 − 2(1 + 1)) + 3 4 = 2 − 6 /(7 − 2 ⋅ (1+ 1)) + 3 ⋅ 4
= − − ⋅ + ⋅ = − − + ⋅
3 3
2 6 /(7 2 2) 3 4 2 6 /(7 4) 3 4
= − + ⋅ = − + = − + ⋅
3
2 6 / 3 3 4 8 6 / 3 3 4 8 6 / 3 3 2
= 8 − 2 + 3 ⋅ 2 = 8 − 2 + 6 = 6 + 6 = 12
Esimerkin laskuja voi nopeuttaa sieventämällä samanaikaisesti kaikkia kolmea
termiä, jotka lopuksi lasketaan yhteen merkkeineen:
3
2 − 6/(7 − 4) + 3 4 = 8 − 6/ 3 + 3⋅ 2 = 8 − 2 + 6 = 12.
Esimerkki. Koska kerto- ja jakolaskut ovat samanarvoisia, niin ne on suoritettava
seuraavassa lausekkeessa vasemmalta oikealle
2⋅ 6 : 3⋅ 2 : 4 = 12 : 3⋅ 2 : 4 = 4⋅ 2 : 4 = 8 : 4 = 2 .
( Huomaa, että aikaisemmin on ollut voimassa sopimus, jonka mukaan kertolaskut suoritettiin ennen
jakolaskuja. Tämä sopimus ei kuitenkaan ole enää voimassa. Yo lauseke sievennettiin aikoinaan
seuraavasti: 2 ⋅ 6 : 3 ⋅ 2 : 4 = 12 : 3 ⋅ 2 : 4 = 12 : 6 : 4 = 2 : 4 = 0.5 , missä alleviivaamalla on jälleen
osoitettu seuraavaksi suoritettava operaatio.)
Huomautus. Koska laskujen suoritusjärjestys vaikuttaa lopputulokseen, niin laskut
on ehdottomasti suoritettava oikeassa järjestyksessä tai sitten meidän on
osattava käyttää sopivia, oikeaksi todistettuja laskulakeja, joiden avulla päästään
usein nopeammin lopputulokseen kuin suorittamalla orjallisesti kaikki lausekkeeseen
merkityt laskutoimitukset sovitussa järjestyksessä.
Esimerkki. Laske tulon 98 ⋅ 76 ⋅ 54 ⋅ 32 ⋅10 ⋅ 0 arvo. On aika työ käsin laskien kertoa
ensimmäiset viisi tekijää keskenään. Voimme käyttää kuitenkin myöhemmin esitettävää
tulosta nimeltään
Tulon nollasääntö. Tulon arvo on nolla silloin ja vain silloin, kun ainakin
yksi tulon tekijöistä on nolla.
Koska tulon viimeinen tekijä on nolla, niin voimme tuloa muuten laskematta heti
todeta, että tarkasteltavan tulon arvo on nolla.
Toisaalta tulon vaihdantalain mukaan tulon tekijöiden järjestyksen saa vaihtaa,
joten voimme myös aloittaa kertolaskut nollalla, jolloin kaikki kertolaskut muuttuvat
todella helpoiksi ja lopputulos on heti selvä.
Timo Ojala ja Timo Ranta: Johdatus insinöörimatematiikkaan 14