Johdatus insinöörimatematiikkaan - SAMK
Johdatus insinöörimatematiikkaan - SAMK
Johdatus insinöörimatematiikkaan - SAMK
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
dessa ei ole missään vaiheessa pienintäkään poikkeamaa. Vastaavasti<br />
16/13 = 1. 230769 230769 230769 23... =1. 230769 .<br />
Kääntäen: Jokainen desimaaliluku, jonka desimaaliesitys on päättyvä tai päättymätön<br />
ja jaksollinen, voidaan esittää murtolukuna seuraavien esimerkkien mukaisesti.<br />
Jokainen päättyvä desimaaliluku voidaan muuttaa murtoluvuksi laventamalla sopivalla<br />
kympin potenssilla seuraavien esimerkkien mukaisesti.<br />
Esimerkki.<br />
4.567<br />
↑<br />
tuhannesosa<br />
4567<br />
= ,<br />
1000 <br />
tuhat<br />
−87654321<br />
− 87.65 4321 =<br />
↑ 1000000<br />
miljoonasosa <br />
miljoona<br />
Esimerkki. Esitetään murtolukuna päättymätön jaksollinen desimaaliluku<br />
x = 8.9123 <br />
3<br />
, jonka jakson pituus on 3. Suoritetaan vähennyslasku 10 ⋅ x − x allekkain:<br />
1000x<br />
= 8912.3123123...<br />
x = 8.9123123...<br />
999x<br />
= 8903.4<br />
10)<br />
8903.4 89034<br />
x = =<br />
999 9990<br />
3<br />
Koska x kerrottiin luvulla 10 , niin desimaaliesitysten kolmen<br />
numeromerkin mittaiset jaksot osuvat lopussa kohdakkain.<br />
Vähennetään ylemmästä yhtälöstä alempi, jolloin kohdakkain<br />
osuvat jaksot häviävät ja erotus on päättyvä desimaaliluku.<br />
:999<br />
Tätä voisi vielä supistaa, mutta se ei ole välttämätöntä.<br />
Huomautus. Lukusuoralla on myös sellaisia desimaalilukuja, joiden desimaaliesitys<br />
on päättymätön ja jaksoton. Tällaiset päättymättömät ja jaksottomat desimaaliluvut<br />
eivät voi edellisen sivun huomautuksen perusteella olla murtolukuja eli rationaalilukuja,<br />
joten niitä sanotaankin irrationaaliluvuiksi.<br />
Esimerkki. Luvun a= 1.212212221222212222212222221...<br />
<br />
1 2 3 4 ...<br />
5 6 kakkosta<br />
desimaaliesityksessä ei<br />
ole mitään numerojonoa, joka toistuisi samanlaisena äärettömän monta kertaa peräkkäin,<br />
koska ykkösten välissä olevien kakkosten määrä lisääntyy aina yhdellä.<br />
Niinpä luku a ei voi olla esitettävissä murtolukuna, koska jokaisen murtoluvun desimaaliesitys<br />
on joko päättyvä tai päättymätön ja jaksollinen.<br />
Voidaan osoittaa, että myös luvun pii π = 3.1415926535... ja monien neliöjuurten<br />
kuten 2 = 1.414213562... , 3, 5, 6, 7, 8, 10,... desimaaliesitykset ovat<br />
päättymättömiä ja jaksottomia, joten nämä luvut ovat irrationaalisia.<br />
Voidaan osoittaa, että kokonaisluvun neliöjuuri on rationaalinen vain, jos juurrettava<br />
luku on neliöluku 0, 1, 4, 9, 16, 25, …<br />
Timo Ojala ja Timo Ranta: <strong>Johdatus</strong> insinöörimatematiikkaan 6
Change language