Johdatus insinöörimatematiikkaan - SAMK
Johdatus insinöörimatematiikkaan - SAMK
Johdatus insinöörimatematiikkaan - SAMK
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Olkoon alkuperäinen nopeus v.<br />
Muodostetaan ajanlisäystä koskeva yhtälö:<br />
Ajan lisäys uusi aika alkuperäinen aika . aika =<br />
matka<br />
= −<br />
nopeus<br />
125 125<br />
( ∗ ) 0.3 = − ⋅ v<br />
⋅ ( v<br />
−<br />
12)<br />
v − 12 v<br />
2<br />
0.3 3.6 125 125( 12)<br />
2<br />
0.3 3.6 1500 0 :0.3<br />
v<br />
v<br />
2<br />
v − v = v − v<br />
−<br />
− v<br />
− =<br />
Kerro auki ja siirrä termit vasemmalle<br />
− 12v<br />
− 5000 =<br />
0 Käytä ratkaisukaavaa<br />
2<br />
− ( − 12) ± ( − 12) − 4 ⋅ ( −<br />
5000) 12 ± 20144 12 ± 141.93 ⎧⎪<br />
76.965<br />
v =<br />
= ≈ ≈ ⎨<br />
2 ⋅1 2 2 ⎪⎩ −64.965<br />
Vaikka negatiivinen arvo toteuttaa yhtälön ( ∗ ), niin se ei kelpaa fysikaalisen tehtävämme<br />
ratkaisuksi. Vastaus on lopuksi pyöristettävä sopivaan tarkkuuteen.<br />
Vastaus: Kysytty nopeus on 77 km/h .<br />
Huomautus. Edellä ollut yhtälö ( ∗ ) kannattaa käytännössä laskuvirheidenkin välttämiseksi<br />
ratkaista tietoteknisiä apuvälineitä hyödyntäen.<br />
Huomautus. Yleistyneen tavan mukaisesti tämän esimerkin laskut laskettiin mukavuussyistä<br />
ilman yksiköitä. Näin meneteltäessä kaikissa esiintyvissä suureissa<br />
on käytettävä esimerkiksi samaa ajan yksikköä. Koska auton nopeus halutaan<br />
ilmoittaa yksiköissä km/h, niin ajan yksiköksi valittiin laskuissa tunti ja siksi ajan<br />
lisäys 18 minuuttia muunnettiin myös tunneiksi. Matkan yksikkönä sekä matkan<br />
pituudessa että auton nopeudessa olikin jo valmiiksi sama yksikkö kilometri. Lopuksi<br />
saatuun numerovastaukseen liitettiin sitten ilman perusteluja kilometreistä ja<br />
tunneista muodostuva nopeuden yksikkö km/h.<br />
Huomautus. Vaikka mukavuussyistä tämä esimerkki laskettiinkin ilman yksiköitä,<br />
niin kehittyneitä tietoteknisiä apuvälineitä käytettäessä laskut kannattaa suorittaa<br />
antaen apuvälineelle lähtösuureet alkuperäisine yksiköineen. Apuvälineet<br />
käsittelevät näet varmastikin ihmistä luotettavammin yksiköitä. Laskujen lopuksi<br />
voimme sitten valita esimerkiksi sen, käytetäänkö vastauksessa ajan yksikkönä<br />
esimerkiksi sekuntia, tuntia vai vuorokautta. Yksiköiden käyttö on myös<br />
perinteinen tapa lähtöyhtälön mahdollisen virheellisyyden selvittämiseksi.<br />
Tiedämme näet omasta kokemuksestamme, että monet opiskelijat (mutta<br />
et toivottavasti sinä) kirjoittavat ajatuksissaan vaikkapa keskinopeudelle väärän<br />
laskukaavan<br />
v =<br />
t<br />
. Yksiköitä apuvälineissä käytettäessä keskinopeudelle saatai-<br />
s<br />
Timo Ojala ja Timo Ranta: <strong>Johdatus</strong> insinöörimatematiikkaan 42
Change language