Johdatus insinÃ¶Ã¶rimatematiikkaan - SAMK

More documents

Recommendations

Info

SISÄLLYSLUETTELO OSA 1: TEORIAA 1. Lukujen nimityksistä ja esityksistä 5 2. Peruslaskutoimituksista ja niiden suorittamisesta 7 3. Jako- ja kertolaskualgoritmit 9 4. Laskutoimitusten suoritusjärjestyksestä 13 5. Varottavia merkintöjä 17 6. Laskulakeja 18 7. Kokonaispotenssi 22 8. Suurilla ja pienillä luvuilla laskemisesta 24 9. Yksikönmuunnoksista 26 10. Murtolausekkeista 28 11. Polynomilausekkeilla laskemisesta 31 12. Yhtälöiden ratkaisemisesta yleisesti 34 13. Erilaisia yhtälöitä ratkaisumenetelmineen 37 14. Yhtälöparin ratkaisemisesta 40 15. Käytännön sovelluksia 41 OSA 2: HARJOITUSTEHTÄVIÄ 47 OSA 3: RATKAISUOHJEITA JA VASTAUKSIA 56 Timo Ojala ja Timo Ranta: <strong>Johdatus</strong> insinöörimatematiikkaan 4
1. LUKUJEN NIMITYKSISTÄ JA ESITYKSISTÄ Tässä opintomonisteessa tarkastellaan laskemista lukusuoralta löytyvillä luvuilla, joita sanotaan reaaliluvuiksi. Jokainen lukusuoran piste voidaan ”nimetä” yhdellä (tarvittaessa päättymättömällä) desimaaliluvulla ja toisaalta jokainen desimaaliluku voidaan sijoittaa lukusuoralle. Lukusuoralla on seuraavat luvut: 1. Positiiviset kokonaisluvut eli luonnolliset luvut 1, 2, 3, … 2. Nolla 0, jota usein pidetään myös yhtenä luonnollisena lukuna. 3. Negatiiviset kokonaisluvut −1, − 2 , − 3 , ... 4. Murtoluvut, jotka ovat kokonaislukujen m ja n( ≠ 0) osamäärinä m n esitettävissä olevia lukuja. Myös jokainen kokonaisluku m voidaan tulkita murtoluvuksi, koska se voidaan esittää murtolukumuodossa 1 m . Matematiikassa näitä kaikkia murtolukuja sanotaan rationaaliluvuiksi. 5. Lukusuoralla on rationaalilukujen lisäksi muitakin lukuja. Näitä irrationaalilukuja käsitellään tarkemmin seuraavalla sivulla. Huomautus. Voidaan osoittaa, että jokaisen rationaaliluvun desimaaliesitys on joko päättyvä tai päättymätön ja jaksollinen. Jos murtoluvun nimittäjän alkutekijöinä on vain lukuja 2 ja 5, niin tarvittaessa sopivasti laventamalla nimittäjään saadaan kympin potenssi, jolloin jakolasku on helppo suorittaa ja lopputuloksena on päättyvä desimaaliluku. Esimerkiksi 2) 103 = 103 = 2⋅103 = 206 = 2 2 2 2 2.06 2⋅5 2⋅5 (2⋅5) 10 ja 2 5 ) 789 = 789 = 19725 = 0.19725 . 5 3 5 3 5 2 ⋅5 2 ⋅5 10 Myöhemmin jakolaskualgoritmin yhteydessä meidän on itsekin helppo todeta, että jos supistetussa muodossa olevan murtoluvun nimittäjässä n on muitakin alkutekijöitä kuin 2 ja 5, niin murtoluvun päättymätön desimaaliesitys on varmasti jaksollinen ja jakson pituus on enintään n − 1 numeromerkkiä. Vaikkapa laskimella voi todeta, että esimerkiksi merkitään 541/ 44 = 12.29545454... = 12.2954 , missä yläpuolisella kaarella merkitty numerojono 54 näyttää toistuvan luvun desimaaliesityksessä kaarikohdasta alkaen ilman muita numeroita. Myöhemmin itse laskemalla saamme varmuuden, että äärettömän pitkälle toistuvassa jaksollisuu- Timo Ojala ja Timo Ranta: <strong>Johdatus</strong> insinöörimatematiikkaan 5
Page 1 and 2: Timo Ojala ja Timo Ranta Johdatus i
Page 3: - Jos Osan 2 harjoitustehtävät tu
Page 7 and 8: 2. PERUSLASKUTOIMITUKSISTA JA NIIDE
Page 9 and 10: Määritelmä. Luvun a kuutiojuuri
Page 11 and 12: 2. Kerro - kerrotaan osamäärään
Page 13 and 14: Jaettavan loput numeromerkit ovat n
Page 15 and 16: Huomautus. Vaikka sulkeita ei käyt
Page 17 and 18: 5. VAROTTAVIA MERKINTÖJÄ Perintee
Page 19 and 20: Yhteenlaskun liitäntälaki. Summal
Page 21 and 22: Esimerkki. Sievennetään lähtöla
Page 23 and 24: Huomautus. Lausekkeita 0 0 ja 0 −
Page 25 and 26: Huomautus. Edellisen esimerkin voit
Page 27 and 28: Huomautus. Kiinnitä huomiota edell
Page 29 and 30: Huomaa, että termiä ( = summalaus
Page 31 and 32: 11. POLYNOMILAUSEKKEILLA LASKEMISES
Page 33 and 34: 3 3 −3.5 ⋅(2x − 4x + 6) = −
Page 35 and 36: Voidaan osoittaa, että alkuperäis
Page 37 and 38: 13. ERILAISIA YHTÄLÖITÄ RATKAISU
Page 39 and 40: Murtoyhtälössä tuntematon esiint
Page 41 and 42: Esimerkki. Ratkaistaan yhtälöpari
Page 43 and 44: siin tällöin väärä yksikkö h/
Page 45 and 46: Esimerkki. Määritetään systemaa
Page 47 and 48: HARJOITUSTEHTÄVIÄ Tällä kurssil
Page 49 and 50: 4.3. (Hellen) Muista, että tietyt
Page 51 and 52: 7.3. (Heli) Kirjoita luvut − 321
Page 53 and 54: 10.1. (Yrjö) Perustele, mistä hel
Page 55 and 56:
15.6. (Hannu) Määritä appelsiini
Page 57 and 58:
(Kohdan b kiihtyvyyden pienestä ar
Page 59 and 60:
4.3. (Hellen) 24 = 24 /(6+ 2) = 3 ,
Page 61 and 62:
13.1. (Jukka) a) 2 2x + 3x − 5 =
Page 63 and 64:
15.3. (Marjo) Merkitään v = autoi
Page 65 and 66:
15.4. (Paula) Merkitään: Haihdute
Page 67 and 68:
Koska lisättävässä vedessä ei
Page 69 and 70:
⎧ −9 -7 ⎪123 ⋅ 10 m = 123 n
Page 71:
f) Osa seuraavista laskuista on ilm
show all

Johdatus insinÃ¶Ã¶rimatematiikkaan - SAMK

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?